Ryhmäteoria

Ryhmäteoria on matematiikan osa-alue, joka keskittyy tutkimaan ryhmiä. Sillä on useita sovelluksia fysiikassa ja kemiassa.

Monet kuvaukset säilyttävät joitakin struktuurin ominaisuuksia. Niinpä ryhmäteoriassa automorfismiryhmä on tärkeä käsite. Automorfismien muodostamaa ryhmää kutsutaan symmetriaryhmäksi.

Galois’n teoria tutkii polynomien ratkeavuutta ryhmäteorian keinoin. Sen avulla voidaan polynomien ratkeavuus palauttaa ryhmän ratkeavuuteen. Tätä ryhmien ratkeavuutta on helpompi käsitellä kuin yhtälöiden ratkeavuutta.

Abelin ryhmä on eräs ryhmäteorian perustyökalu, ja se on perustana myös monimutkaisemmille algebrallisille rakenteille, kuten renkaille, kunnille ja moduleille.

Historia

Ryhmäteorian kehityshistoriassa on kolme tutkimushaaraa:

• 1. geometria 1800-luvun alkupuolella,
• 2. lukuteoria 1700-luvun loppupuolella ja
• 3. algebrallisten yhtälöiden teoria 1700-luvun lopulla johtaen permutaation tutkimiseen.

Tarkastellaan seuraavaksi näitä kolmea tutkimushaaraa erikseen.

• 1) 1800-luvun alussa geometria alkoi menettää suoraa yhteyttään empiiriseen mittaamiseen.. Keskityttiin tutkimaan epäeuklidista geometriaa ja n -dimensioisia avaruuksia. Tämä aiheutti geometrian kehittymisen abstraktimpaan suuntaan. Epäeuklidista geometriaa tutkivat erityisesti Carl Friedrich Gauss, Johan Heinrich Lambert ja Nikolai Lobatševski.

• 2) Vuonna 1761 Leonhard Euler tutki modulaarista aritmetiikkaa. Erikoisesti hänen tutki lukujen potenssien jäännöksiä modulo n. Vaikkei Euleria parhaiten tunnetakaan ryhmäteoriasta, hän antoi aikoinaan esimerkkejä myös siltäkin alalta. Euler antoi esimerkkejä Abelin ryhmän dekompositioista ja aliryhmien sivuluokista. Hän todisti myös erikoistapauksen, jossa aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun.

• 3) Joseph-Louis Lagrange tutki ensimmäisenä permutaatioita 1770-luvulla algebrallisten yhtälöiden yhteydessä. Hänen päätavoitteensa oli selvittää kuinka ratkaistaan toisen ja kolmannen asteen yhtälöitä algebrallisesti. Lagrange ei kuitenkaan koskaan koonnut permutaatioihin liittyviä töitään. Kuitenkin hänen voidaan sanoa laittaneen alulle permutaatioryhmien tutkimisen.

Ryhmien pääluokat

Permutaatioryhmät

Permutaatioita esiintyy lähes joka puolella matematiikassa sekä käytännön elämässä. Juuri tämän vuoksi ryhmäteoriassa alettiin ensimmäisenä tutkia permutaatioryhmiä. Hyvänä käytännön esimerkkinä permutaatioista toimii Rubikin kuution siirrot.

Matemaattisesti määriteltynä permutaatio tarkoittaa bijektiota joukolta itselleen. Permutaatio sanana merkitsee muutosta tai vaihtoa eli jonkin joukon sisäistä muutosta, jolloin alkiot kuitenkin säilyvät ennallaan. Uusi avaamaton korttipakka on aluksi tietyssä järjestyksessä. Nyt, jos järjestystä muutetaan esimerkiksi siten, että ruutuässän tilalle laitetaankin pataässä, voidaan kuvitella ruutuässän kuvautuvan pataässäksi.

Permutaatiota voidaan tarkastella monesta eri näkökulmasta. Kun korttipakan järjestystä muutetaan tietyllä operaatiolla, voidaan sen kuvitella olevan eräänlainen permutaatio. Toisaalta permutaatio voi myös tarkoittaa saavutettua lopputulosta, johon korttipakka järjestämisoperaation jälkeen muotoutuu. Jos jonkin joukon alkiot kuvitellaan numeerisesti tiettyyn järjestykseen, voi permutaatio tarkoittaa myös järjestysnumeroiden muuttumista.

Matriisiryhmät

Seuraava tärkeä ryhmien pääluokka on matriisiryhmät (lineaariset ryhmät), joka nimensä mukaisesti koostuu $n\times n$ -matriiseista. Kyseisten ryhmien operaatiot tapahtuvat siis n -dimensioisessa vektoriavaruudessa. Tämän vuoksi matriisiryhmät voidaan käsitteellisesti samaistaa permutaatioryhmiin.

Translaatioryhmät

Translaatioryhmät ovat suljettuja rakenteensa suhteen. Jos esimerkiksi ryhmään $G$ tehdään translaatiot eli siirrot tai muutokset $T$ ja $U$, on ensin suoritettava operaatio $T$ ja sitten vasta operaatio $U$.

Käsitteellisesti translaatioryhmä voidaan samaistaa symmetriseen ryhmään. Translaatioryhmät koostuvat siis niistä kaikista translaatioista, jotka säilyttävät ryhmän yksinkertaisen rakenteen.

Abstraktit ryhmät

Ryhmäteoria kehittyi aluksi konkreettisimmista edellä mainituista ryhmäluokista. Ryhmäoperaatioita käsiteltiin siis luvuilla, permutaatioilla ja matriiseilla. Abstrakti ryhmä käsitteenä kuuluu moderniin eli abstraktiin algebraan.

Ryhmä $G$ koostuu esimerkiksi alkioista ${a,b,c,..}$. Jos ryhmä $G$ on suljettu binäärioperaation * suhteen, niin voimassa ovat seuraavat neljä ehtoa:

• 1. Operaatio * on suljettu joukossa $G$ eli kaikilla joukon $G$ alkioilla $a$ ja $b$ on voimassa $a*b$ kuuluu joukkoon $G$.
• 2. Assosiatiivilaki on voimassa joukon $G$ alkioille $a,b,c:(a*b)*c=a*(b*c).$
• 3. Neutraalialkion $e$ olemassaolo: $a*e=e*a=a$.
• 4. Käänteisalkion $a^{-1}$ olemassaolo: $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$.

Abstrakti ryhmä voidaan esittää vektoriavaruuksien lineaarimuunnoksina. Tätä tapaa kutsutaan ryhmän esitykseksi.

Topologiset ryhmät

Topologinen ryhmä $G$ koostuu topologisesta avaruudesta, jossa ryhmällä ovat voimassa seuraavat operaatiot:

• 1. $G\times G\to G:(x,y)\to xy$ ja
• 2. käänteisalkio: $G\to G:x\to x^{-1}$.

Nämä edellä mainitut operaatiot muodostavat jatkuvat funktiot.

Lähteet

• Borel, Armand: Linear algebraic groups, s. 126. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1991. ISBN 978-0-387-97370-8
• Carter, Nathan C.: Visual group theory. Mathematical Association of America, 2009. ISBN 978-0-88385-757-1 Teoksen verkkoversio.
• http://en.wikipedia.org/wiki/Group_theory ^{tarvitaan parempi lähde}
• http://www.mv.helsinki.fi/home/jramo/Rubik_2010/materiaali_luku2.pdf
• http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/modalg/transgroups.html
• http://www.cmth.ph.ic.ac.uk/people/d.vvedensky/groups/Chapter2.pdf (Arkistoitu – Internet Archive)
• http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Development_group_theory.html (Arkistoitu – Internet Archive)
• http://www-math.mit.edu/~etingof/groups.pdf