Ryhmän esitys

Ryhmän esitys on ryhmäteoriassa käytetty tapa esittää abstrakti ryhmä vektoriavaruuksien lineaarimuunnoksina. Esityksiä voidaan käyttää erityisesti ryhmäelementtien esittämiseen matriiseina, jolloin ryhmäoperaatio voidaan esittää matriisitulona. Esitykset mahdollistavat monien ryhmäteoreettisten ongelmien palauttamisen lineaarialgebran ongelmiksi, jotka joissain tapauksissa voivat olla helpompia ratkaista. Ryhmien esityksiä käytetään mm. fysiikassa, jossa ne konkretisoivat symmetriaryhmän vaikutuksen fysikaalista systeemiä kuvaavien yhtälöiden ratkaisuihin.

Matemaattisesti esitys tarkoittaa homomorfismia ryhmästä (tietyn objektin) automorfismiryhmään. Mikäli objekti on vektoriavaruus, kyseessä on lineaariesitys. Usein ryhmän esityksestä puhuttaessa tarkoitetaan nimenomaan lineaariesitystä.

Ryhmän esitysteoria jakautuu alateorioiksi kuvaamiensa ryhmien mukaan. Esimerkkeinä esitysteoriassa käsitellyistä ryhmistä ovat äärelliset ryhmät, kompaktit ryhmät, Lie-ryhmät, lineaarialgebralliset ryhmät ja ei-kompaktit topologiset ryhmät. Esitysteoria on riippuvainen käytettävän vektoriavaruuden tyypistä. Puhutaan äärellisistä ja ääretönulotteisista esityksistä riippuen kyseisen vektoriavaruuden dimensioista.

Määritelmiä

Ryhmän G esitys vektoriavaruudessa V (kunnan K yli) on ryhmähomomorfismi ryhmästä G yleiseen lineaariryhmään GL(V) V:ssä.

Toisin sanoen, ryhmän esitys on kuvaus

$\rho \colon G\to GL(V)\,\!$

siten että

$\rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2}),\qquad {\text{kaikille }}g_{1},g_{2}\in G.\,\!$

Vektoriavaruutta V kutsutaan esitysavaruudeksi ja sen dimensiota kutsutaan esityksen dimensioksi. Usein avaruutta V itseään voidaan suoraan kutsua esitykseksi, mikäli homomorfismi käy selväksi kontekstista.

Mikäli V:n dimensio n on äärellinen, voidaan sille määritellä kanta ja identifioida GL(V) ryhmän GL(n, K) kanssa, joka on n×n-dimensioisten kääntyvien matriisien muodostama ryhmä kentän K yli.

Kahden esityksen

$\rho _{1}\colon G\to GL(V)\,\!$

ja

$\rho _{2}\colon G\rightarrow GL(W)\,\!$

sanotaan olevan ekvivalentteja tai isomorfisia, mikäli on olemassa vektoriavaruusisomorfismi

$\alpha \colon V\to W\,\!$

siten että kaikille g ryhmässä G

$\alpha \circ \rho _{1}(g)\circ \alpha ^{-1}=\rho _{2}(g).\,\!$

Ekvivalentteja esityksiä merkitään $V\cong W$.

Muita ryhmille määriteltäviä käsitteitä ovat mm. jatkuva esitys, uskollinen esitys sekä esityksen ydin.

Esimerkkejä

Tarkastellaan kompleksilukua u = e^{2πi / 3}. Tällä on ominaisuus u³ = 1. Syklisellä ryhmällä C₃ = {1, u, u²} on esitys ρ avaruudessa C²:

$\rho \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{bmatrix}}.$

Tämä esitys on uskollinen, koska ρ on injektiivinen kuvaus.

C₃:lle voidaan löytää isomorfinen esitys:

$\rho \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u\right)={\begin{bmatrix}u&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}.$

Ryhmä C₃ voidaan myös esittää uskollisella esityksellä avaruudessa R² seuraavasti:

$\rho \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u\right)={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\\\end{bmatrix}}$

jossa $a=\Re (u)=-1/2$ ja $b=\Im (u)={\sqrt {3}}/2$.

Redusoituvuus

Esitysavaruuden V aliavaruutta W, joka on invariantti ryhmäoperaation suhteen, kutsutaan aliesitykseksi. Mikäli avaruudella V on täsmälleen kaksi aliesitystä, nimittäin nolla-dimensioinen aliavaruus sekä avaruus V itse, esityksen sanotaan olevan redusoitumaton (tai irredusoituva); mikäli sillä on ei-triviaali aliesitys (jonka dimensio ei ole nolla), esityksen sanotaan olevan redusoituva. Nolla-dimensioisen esityksen ei ajatella olevan sen paremmin redusoituva kuin irredusoituva.

Tietyin edellytyksin äärellisen ryhmän esitys voidaan muodostaa redusoitumattomien aliesitysten suorana summana.

Edellisessä esimerkissä kaksi ensimmäistä esitystä ovat molemmat hajotettavissa kahteen 1-dimensioiseen aliesitykseen (span{(1,0)} ja span{(0,1)}), kun taas kolmas annettu esitys on redusoitumaton.

Kirjallisuutta

• Fulton-Harris. Introduction to representation theory with emphasis on Lie groups.
• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Birkhäuser Verlag. 1988.