Pääideaalialue
Matematiikassa pääideaalialue eli PID on integraalialue (eli kommutiivinen rengas, jossa ja jossa ), jossa jokainen ideaali on pääideaali eli joukko jollain .
Pääideaalialueet käyttäytyvät kuten kokonaisluvut jaollisuuden suhteen: millä tahansa PID:n alkiolla on yksikäsitteinen faktorointi (joten aritmeettisen peruslauseen analogia pätee); millä tahansa kahdella PID:n elementillä on suurin yhteinen jakaja (vaikka sitä ei ehkä ole mahdollista löytää käyttämällä Eukleideen algoritmia). Jos x ja y ovat PID:n elementtejä ilman yhteisiä jakajia, niin jokainen PID:n alkio voidaan kirjoittaa muodossa ax + by, jne.
Pääideaalialueet ovat Noetherin renkaita.
Alla esitetyssä inkluusioketjussa kukin algebrallinen käsite tarkoittaa sen käsitteen ilmenemien joukkoa (esimerkiksi "Pseudorengas" tarkoittaa kaikkien pseudorenkaiden joukkoa):
- Rngas eli pseudorengas ⊃ rengas ⊃ kommutatiivinen rengas ⊃ kokonaisalue ⊃ faktoriaalinen kokonaisalue ⊃ pääideaalialue ⊃ euklidinen alue ⊃ kunta ⊃ Algebrallisesti suljettu kunta
Esimerkkejä
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- : mikä tahansa kunta ,
- : kokonaislukujen rengas [1]
- : yhden muuttujan polynomien renkaat, kun kertoimet otetaan jostakin kunnasta. (Käänteinenkin on totta, eli jos on pääideaalialue, niin on kunta.) Lisäksi yhden muuttujan muodollisten potenssisarjojen rengas on pääideaalialue, kun kertoimet otetaan jostain kunnasta, koska jokainen ideaali on muotoa ,
- eli Gaussin kokonaislukujen rengas [2]
![{\displaystyle K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9e6c2ac2830d6a9abe078b47450777c41d69a9)
![{\displaystyle A[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d5d3b3ae4cfb46d3ef305e5d7dcb130f10e468)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
Ei-esimerkkejä
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- on rengas muttei pääideaalialue, koska Lisäksi on ideaali, jota mikään yksi alkio ei generoi.
- : kaikkien polynomien rengas kokonaislukukertoimilla. Se ei ole pääideaalialue, koska on ideaali, jota mikään yksi alkio ei generoi.
- n muuttujan polynomien rengas, missä , kun kerroinrengas R ei ole pääideaalialue, koska ideaali ei ole pääideaali.
- Useimmat algebrallisten kokonaislukujen renkaat eivät ole pääideaalialueita.
![{\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d173ab71d83ed73f382d0b774b6f35a83d6a9a)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4da3ac703cc7721ebba91a53f6752de7157124)
![{\displaystyle R[x,y,\ldots ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd4760ccea91cdcb517abb32dd166bab1c4ee01)
Ominaisuuksia
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Pääideaalialueella millä tahansa kahdella alkiolla a, b on suurin yhteinen jakaja, joka voidaan saada ideaalin (a, b ) generaattorina (virittäjänä).
Esimerkki pääasiallisesta ideaalista, joka ei ole euklidinen alue, on rengas , [3] [4] tämän todisti Theodore Motzkin ja se oli ensimmäinen tunnettu tapaus. [5] Tällä alueella ei ole q ja r :tä, 0 ≤ |r | <4, niin , huolimatta ja joilla on suurin yhteinen jakaja 2 .
![{\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb17dc804d1adeb142f5d624f5a59ef5d419c61a)
Katso myös
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ See Fraleigh & Katz (1967), p. 73, Corollary of Theorem 1.7, and notes at p. 369, after the corollary of Theorem 7.2
- ↑ See Fraleigh & Katz (1967), p. 385, Theorem 7.8 and p. 377, Theorem 7.4.
- ↑ Wilson, Jack C. "A Principal Ring that is Not a Euclidean Ring." Math. Mag 46 (Jan 1973) 34-38
- ↑ George Bergman, A principal ideal domain that is not Euclidean - developed as a series of exercises PostScript file
- ↑ Th Motzkin: The Euclidean algorithm. Bulletin of the American Mathematical Society, 1949, 55. vsk, nro 12, s. 1142–1146. ISSN 0002-9904 Artikkelin verkkoversio.