Kommutoiva rengas

Algebrassa rengas on kommutoiva (myös kommutatiivinen tai vaihdannainen), jos siinä määritelty kertolasku on vaihdannainen, ts. kertolaskun lopputulos on sama riippumatta siitä, kummassa järjestyksessä kerrottavat alkiot ovat. Jos ${\textstyle R}$ on rengas, jossa on määritelty yhteenlasku (${\textstyle +}$) ja kertolasku (${\textstyle \cdot }$), niin ${\textstyle R}$ on kommutoiva, jos mille tahansa alkioille ${\textstyle a,b\in R}$ pätee $a\cdot b=b\cdot a$.

Alla esitetyssä inkluusioketjussa kukin algebrallinen käsite tarkoittaa sen käsitteen ilmenemien joukkoa (esimerkiksi "Pseudorengas" tarkoittaa kaikkien pseudorenkaiden joukkoa):

Rngas eli pseudorengas ⊃ rengas ⊃ kommutatiivinen rengas ⊃ kokonaisalue ⊃ faktoriaalinen kokonaisalue ⊃ pääideaalialue ⊃ euklidinen alue ⊃ kunta ⊃ Algebrallisesti suljettu kunta

Esimerkkejä kommutoivista renkaista

• Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutoivan renkaan yhteen- ja kertolaskujen suhteen: reaalilukujen laskusääntöjen nojalla kahden kokonaisluvun kertolasku on vaihdannainen.
• Jäännösluokkarengas $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,\oplus ,\odot )$ on kommutoiva kaikilla $n\in \mathbb {N} ,n>1$, sillä jäännösluokkien kertolasku määritellään ${\overline {a}}_{n}\odot {\overline {b}}_{n}={\overline {(ab)}}_{n}$, missä $a,b\in \mathbb {Z}$. Tällöin reaalilukujen laskusääntöjen nojalla myös ${\overline {a}}_{n}\odot {\overline {b}}_{n}={\overline {b}}_{n}\odot {\overline {a}}_{n}$.

Esimerkkejä ei-kommutoivista renkaista

• Reaalisten $2\times 2$-matriisien rengas $({\mathcal {M}}_{2\times 2}(\mathbb {R} ),+,\cdot )$ ei ole kommutoiva, sillä matriisien kertolasku ei yleisesti ole vaihdannainen. Esimerkiksi

${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}}$ ja ${\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}$.

Huomaa, että ei-kommutoiva tai ei-kommutatiivinen eivät tarkoita samaa asiaa kuin antikommutoiva!

Suhde kokonaisalueeseen ja kuntaan

Olkoon ${\textstyle (R,+,\cdot )}$ kommutoiva rengas. Merkitään renkaan $R$ yhteenlaskun neutraalialkiota (ns. nolla-alkio) $0_{R}$:llä ja kertolaskun neutraalialkiota (ns. ykkös-alkio) $1_{R}$:llä. Tällöin

1. Jos kaikilla ${\textstyle a,b\in R}$ ehdosta $a\cdot b=0_{R}$ seuraa, että $a=0_{R}$ tai $b=0_{R}$, niin $R$ on kokonaisalue.
2. Jos kaikilla $a\neq 0_{R}$ yhtälöllä $a\cdot x=1_{R}$ on ratkaisu $x\in R$, niin $R$ on kunta.

Jos $R$ on kunta, niin se on myös kokonaisalue, mutta kokonaisalue ei välttämättä ole kunta (esim. $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ on kokonaisalue, muttei kunta).

Katso myös

• Ryhmä (algebra)
• Abelin ryhmä
• Kommutaattori (matematiikka)

Kirjallisuutta

• Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Gaudeamus, 2015. ISBN 9789524953610