Modulaarinen aritmetiikka

Modulaarinen aritmetiikka (lyhyemmin modulaariaritmetiikka, joskus myös kello­taulu­aritmetiikka), on kokonaislukuja käsittelevä matemaattisen lukuteorian haara, jossa luvut korvataan niillä jako­jäännöksillä (oikeastaan residyillä), jotka saadaan jaettaessa luku tietyllä vakiolla, moduluksella. Täten luvut ikään "kiertävät kehää" määrä­välein, saavuttaessaan tämä vakion.

Nykyaikaisen lähestymis­tavan modulaariselle aritmetiikalle kehitti Carl Friedrich Gauss teoksessaan Disquisitiones Arithmeticae, joka julkaistiin vuonna 1801.

Ajannäyttö tässä kellossa käyttää aritmetiikkaa modulo 12.

Tutun esi­merkin modu­laari­sen aritme­tiikan käyttö­yhteydestä muodostavat kello­ajat. Kun käytetään 12 tunnin kello­aika­järjestelmää, johon tavalliset kellotaulut yhä perustuvat, kuusi tuntia kello 9:n jälkeen kello on 3. Tavallisessa yhteenlaskussa tosin saataisiin tulokseksi 9 + 6 = 15, mutta kello 12:n jälkeen kello­ajat alkavat uudestaan alusta, sillä vuorokausi on jaettu kahteen 12 tunnin jaksoon. Näin ollen tunnit noudattavat modu­laarista aritme­tiikkaa modulo 12. Nykyisin useimmissa maissa käytetään kuitenkin viralli­sesti 24 tunnin järjes­telmää, jossa kello­ajat alkavat uudestaan alusta vasta klo 24:n jälkeen. Jos kello on nyt 12, se on 3 tunnin kuluttua 15, mutta 21 tunnin kuluttua 9 seuraavana päivänä. Tällöin on siis kyseessä modu­laari­nen aritme­tiikka modulo 24.

Kongruenssirelaatio

Modulaarista aritme­tiikkaa voidaan käsitellä mate­maatti­sesti ottamalla käyttöön kokonaislukujen kongruenssirelaatio, joka on yhteen­sopiva kokonais­lukujen renkaan lasku­toimitusten — yhteen-, vähennys- ja kertolaskun — kanssa. Jos valitaan jokin posi­tiivinen kokonais­luku n, kahden kokonais­luvun a ja b sanotaan olevan kongruentteja modulo n, mikä merkitään:

$a\equiv b{\pmod {n}},\,$

jos niiden erotus on jaollinen n:llä.

Esimerkiksi

$38\equiv 14{\pmod {12}}\,$

koska 38 − 14 = 24, joka on jaollinen 12:lla.

Sama pätee nega­tiivisille kokonais­luvuille:

$-8\equiv 7{\pmod {5}}.\,$

$2\equiv -3{\pmod {5}}.\,$

$-3\equiv -8{\pmod {5}}.\,$

Luku n on kongruenssi­relaation modulus.

Jos sekä a että b ovat posi­tiivisia, ne ovat kongru­entteja modulo n, jos ja vain jos niiden jakoj­äännökset n:llä jaettaessa ovat samat. Niinpä esi­merkiksi

$38\equiv 14{\pmod {12}}\,$

koska lukujen 38 ja 14 jako­jäännös 12:lla jaettaessa on sama, 2.

Merkintä­tavasta on huomattava, että koska samassa yhteydessä saatetaan käyttää useita kongruenssi­relaatioita, joilla on eri modulus, merkinnässä on mukana myös modulus. Vaikka merkintä­tapa näin ollen viittaa siihen, että kyseessä olisi kolmipaikkainen relaatio, kongruenssi annetun moduluksen suhteen on kaksi­paikkainen on binäärirelaatio.

Kongruenssi­relaation yhteen­sopivuus perus­lasku­toimitusten kanssa merkitsee sitä, että se noudattaa seuraavia lakeja:

Jos

$a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {n}}$

ja

$a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {n}},$

niin:

• $a_{1}+a_{2}\equiv b_{1}+b_{2}{\pmod {n}}\,$
• $a_{1}-a_{2}\equiv b_{1}-b_{2}{\pmod {n}}\,$

Nämä lait pätisivät siinäkin tapauksessa, että teoria laajenne­ttaisiin käsittämään kaikki reaali­luvut, toisin sanoen vaikka luvut $a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},n\,$ eivät kaikki olisikaan kokonais­lukuja, mutta kongruenssi määriteltäisiin reaali­luvuille muutoin samaan tapaan kuin edellä. Seuraava ominaisuus pätee kuitenkin vain, jos ne kaikki ovat kokonais­lukuja:

• $a_{1}a_{2}\equiv b_{1}b_{2}{\pmod {n}}.\,$

Jakojäännökset

Modulaarisen aritme­tiikan käsite liittyy läheisesti jakoyhtälöön ja siinä esiintyvään jako­jäännökseen. Jako­jäännöksen määrittä­mistä nimite­täänkin joskus modulo-operaatioksi, ja joskus näkee käytet­tävän sellaistakin merkintää kuin 2 = 14 (mod 12). Erona jako­yhtälöön verrattuna on kongruenssin käsite, jolle käytetään merkintää "≡" yhtäläisyys­merkin "=" asemesta. Lukujen kongruenssi on ekvivalenssirelaatio, johon liittyviä ekvivalenssi­luokkia sanotaan jäännös­luokiksi. Kunkin jäännös­luokan edustajaksi valitaan tavallisesti sen pienin ei-nega­tiivinen luku, esimerkiksi 38 ≡ 2 (mod 12). Tätä sanotaan myös residyksi. Tästä seuraa, että vaikka on oikein merkitä 38 ≡ 14 (mod 12), ja 2 ≡ 14 (mod 12), on väärin merkitä 38 = 14 (mod 12) (missä "=" esiintyy "≡" -merkin sijasta).

Jokainen positiivinen kokonais­luku kuuluu kongruenssi­relaatiossa siihen jäännös­luokkaan, jonka edustajana on sen jako­jäännös moduluksella jaettaessa. Tällöin siis residy on sama kuin jako­jäännös. Nega­tiivisten kokonais­lukujen tapauksessa asia on kuitenkin toisin, koska jako­jäännös tavalliseen tapaan laskettuna on tällöin nega­tiivinen. Niinpä esi­merkiksi luvun -17 jako­jäännös 12:lla jaettaessa on -5 (sillä −5 ≡ −17 (mod 12)), mutta kongruenssi­relaatiossa luvut -17 ja -5 kuuluvat ekvi­valenssi­luokkaan, jota edustamaan valitaan luku 7. Tämä on siis luvun -17 residy 12:lla jaettaessa.

Tietokoneiden ohjelmointikielissä jako­jäännös­operaatiolel käytetään yleensä merkintää "%" (esi­merkiksi C:ssä, Javassa, Perlissä ja Pythonissa) tai "mod" (esimerkiksi Pascalissa, BASICissa, SQL;ssä ja Haskellissa), poikkeuksena muun muassa Excel. Nämä antavat tulokseksi jako­jäännöksen sillä tavoin, että esimerkiksi C++:ssa tulos on negatiivinen, jos ensimmäinen argumentti (jaettava) on negatiivinen, ja Pythonissa, jos toinen argumentti (jakaja) on nega­tiivinen. Joissakin ohjelmointi­kielissä, esimerkiksi Rubyssa, on lisäksi erikseen funktio "modulo", joka palauttaa residyn jako­jäännöksen sijasta.

Sulku­merkit jätetään joskus merkinnästä pois, esimerkiksi 38 ≡ 14 mod 12 tai 2 = 14 mod 12, tai ne merkitään moduluksen ympärille, esimerkiksi or 38 ≡ 14 mod (12). Sellaistakin merkintää kuin 38(mod 12) näkee joskus käytettävän, mutta se ei ole yksi­selitteinen, ellei sen merkitys ilmene asia­yhteydestä.

Jakojäännös funktiona

Laskutoimitus, jolla jakojäännös (residy) muodostetaan, voidaan esittää käyttä­mällä lattiafunktiota. Jos b ≡ a (mod n), missä n > 0, niin kun jako­jäännös b on laskettu

$b=a-\left\lfloor {\frac {a}{n}}\right\rfloor \times n,$

missä $\left\lfloor {\frac {a}{n}}\right\rfloor \,$ on suurin kokonais­luku, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin ${\frac {a}{n}}$, niin

${\begin{array}{lcl}a\equiv b{\pmod {n}}{\text{ and,}}\\0\leq b<n.\end{array}}$

Jos sen sijaan on muodostettava b, joka on välillä −n ≤ b < 0, on

$b=a-\left\lfloor {\frac {a}{n}}\right\rfloor \times n-n.$

Jäännösluokkasysteemit

Jokaista jäännös­luokkaa modulo n edustamaan voitaisiin valita mikä tahansa siihen kuuluva luku, vaikka yleensä sitä edustamaan valitaan pienin siihen kuuluva ei-negatiivinen luku. On huomattava, että mitkä tahansa kaksi lukua, jotka eivät kuulu samaan jäännös­luokkaan, eivät myöskään ole kongru­entteja modulo n. Lisäksi jokainen kokonais­luku kuuluu yhteen ja vain yhteen jäännös­luokkaan modulo n.

Kokonaislukujen joukkoa {0, 1, 2, ..., n - 1} sanotaan pienimmäksi jäännös­luokka­systeemiksi modulo n. Mitä tahansa n kokonais­luvun joukko, jossa mitkään kaksi eri lukua eivät ole keskenään kongru­entteja modulo n, sanotaan täydelliseksi jäännös­luokka­systeemiksi modulo n.

On selvää, että pienin jäännös­luokka­systeemi on täydellinen jäännös­luokka­systeemi ja että täydellinen jäännös­luokka­systeemi on joukko, johon kuuluu yksi edustaja kustakin jäännös­luokasta modulo n. Pienin jäännös­luokka­systeemi modulo 4 on {0, 1, 2, 3}. Muita täydellisiä jäännös­luokka­systeemejä modulo 4 ovat esimerkiksi:

• {1,2,3,4}
• {13,14,15,16}
• {-2,-1,0,1}
• {-13,4,17,18}
• {-5,0,6,21}
• {27,32,37,42}

Sitä vastoin esimerkiksi seuraavat joukot eivät ole täydellisiä jäännös­luokka­systeemejä modulo 4:

• {-5,0,6,22} sillä 6 on kongruentti 22:n kanssa modulo 4.
• {5,15} sillä täydellisessä jäännös­luokka­systeemissä modulo 4 täytyy olla tasan 4 keskenään epä­kongruenttia lukua.

Redusoidut jäännösluokkasysteemit

Jokainen kokonais­lukujen φ(n) joukko, missä φ(n) tarkoittaa Eulerin φ-funktiota ja missä nämä luvut ovat suhteellisia alku­lukuja n:n kanssa ja joista mitkään kaksi eivät ole kongruentteja modulo n, on redusoitu jäännös­luokka­systeemi modulo n.. Edellä mainittu esimerkki, {5,15}, on redusoitu jäännös­luokka­systeemi modulo 4.

Jäännösluokat

Kongruenssi modulo n on ekvivalenssirelaatio, ja ekvivalenssiluokkaa, johon kokonais­luku a kuuluu, merkitään ${\overline {a}}_{n}$. Siihen kuuluvat luvut $\left\{\ldots ,a-2n,a-n,a,a+n,a+2n,\ldots \right\}$. Tätä joukkoa, johon kuuluvat a:n kanssa kongruentit luvut modulo n, sanotaan a:n kongruenssi­luokaksi tai jäännös­luokaksi modulo n. Jos modulus n tunnetaan asia­yhteydestä, sille voidaan käyttää myös merkintää $\displaystyle [a]$.

Kokonaisluvut modulo n

Jäännösluokkien joukkoa modulo n sanotaan kokonais­luvuiksi modulo n, ja sille käytetään merkintää $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, $\mathbb {Z} /n$ tai joskus myös $\mathbb {Z} _{n}$. Merkintää $\mathbb {Z} _{n}$ ei kuitenkaan suositella, koska se saattaa sekaantua n-adisten lukujen joukkoon. Jäännös­luokkien joukko määritellään seuraavasti.

$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\left\{{\overline {a}}_{n}|a\in \mathbb {Z} \right\}.$

Kun n ≠ 0, joukolla $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ on n alkiota ja se voidaan esittää muodossa

$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}}_{n},{\overline {1}}_{n},{\overline {2}}_{n},\ldots ,{\overline {n-1}}_{n}\right\}.$

Kun n = 0, joukko $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ei ole tyhjä, sitä vastoin sen on $\mathbb {Z}$, sillä ${\overline {a}}_{0}=\left\{a\right\}$.

Yhteen-, vähennys- ja kertolasku joukossa $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ voidaan määritellä seuraavasti:

• ${\overline {a}}_{n}+{\overline {b}}_{n}={\overline {(a+b)}}_{n}$
• ${\overline {a}}_{n}-{\overline {b}}_{n}={\overline {(a-b)}}_{n}$
• ${\overline {a}}_{n}{\overline {b}}_{n}={\overline {(ab)}}_{n}.$

Edellä esitetystä seuraa, että tämä on hyvin määritelty.

Varustettuna näillä lasku­toimituksilla $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ on kommutatiivinen rengas, jota kutstuaan jäännösluokkarenkaaksi. Esimerkiksi renkaalle $\mathbb {Z} /24\mathbb {Z}$, pätee

${\overline {12}}_{24}+{\overline {21}}_{24}={\overline {9}}_{24}$

kuten 24-tuntisen kellon aritmetiikassa.

Merkintää $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ käytetään, koska kyseessä on $\mathbb {Z}$:n tekijärengas ideaalin $n\mathbb {Z}$ suhteen, jonka muodostavat kaikki n:llä jaolliset kokonais­luvut, missä $0\mathbb {Z}$ on yksialkioinen joukko $\left\{0\right\}$. Niinpä $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ on kunta, jos $n\mathbb {Z}$ on maksimaalinen ideaali, toisin sanoen, jos $n$ on alkuluku.

Joukko-opin termein jäännösluokka ${\overline {a}}_{n}$ on a:n sivuluokka tekijäryhmässä $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, joka on syklinen ryhmä.

Joukolla $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ on monia huomattavia matemaattisia ominaisuuksia, joilla on perustava merkitys monilla matematiikan aloilla.

Monissa yhteyksissä, esimerkiksi renkaan karakteristikaa käsiteltäessä, on sopivaa pitää jäännös­luokka­ryhmän erikoistapauksena myös tapausta n = 0 eli joukkoa $\mathbb {Z} /0\mathbb {Z}$. Kuten edellä jo todettiin, se on isomorfinen kokonais­lukujen renkaan $\mathbb {Z}$ kanssa.

Kun n on alkuluku, kokonaislukujen joukko modulo n muodostaa samalla äärellisen kunnan.

Sovelluksia

Modulaarista aritmetiikkaa sovelletaan lukuteoriassa, ryhmäteoriassa, rengasteoriassa, solmuteoriassa, abstraktissa algebrassa, tietokonealgebrassa, kryptografiassa, tietojen­käsittely­tieteessä, kemiassa sekä jopa kuva­taiteissa ja musiikissa.

Se on yksi lukuteorian perus­pilareista, joka liittyy lähesti tämän matematiikan haaran kaikkiin kysymyksiin, ja se tarjoaa hyviä esimerkkejä ryhmä- ja rengasteorian sekä abstraktin algebran käsitteistä.

Moniin eri yhteyksissä käytettäviin numero­tunnisteisiin kuuluu tarkistemerkki, joka yleensä määräytyy tunnisteen muiden numeroiden perusteella modulaarisen aritmetiikan keinoin. Esimerkiksi kansain­välisessä pankki­tilin numerossa (IBAN käytetään modu­laarista aritme­tiikkaa modulo 97 pankki­tilin numeroa syötettäessä mahdollisesti tehtävien virheiden paljastamiseen. Samaan tapaan suomalaisessa henkilö­tunnuksessa viimeinen numero on tarkiste­merkki modulo 31.

Kemikaalien CAS-numeron viimeinen numero on niin ikään tarkistemerkki. Se lasketaan kertomalla tunnisteen kummankin osan viimeinen numero 1:llä, toiseksi viimeinen 2:lla ja niin edelleen ja ottamalla näin saatujen lukujen summasta jakojäännös modulo 10.

Tietokone­algebrassa modulaarista aritmetiikkaa käytetään usein rajoitettaessa kokonais­luku­kerrointen suuruutta lasku­toimitusten väli­vaiheissa. Kaikki tunnetut tehokkaat algoritmit polynomien jakamiseksi tekijöihin perustuvat modu­laariseen aritme­tiikkaan. Siihen perustuvat myös tehokkaimmat menetelmät polynomien suurimman yhteisen tekijän löytämiseksi sekä monet lineaarialgebran ja Gröbnerin baasin algoritmit kokonais- ja rationaali­luvuille.

Tietojenkäsittelytieteessä modulaarista aritmetiikka sovelletaan usein biteittäisessä lasku­toimituksissa ja muissa toimituksissa, joissa käytetään kiinteän levyisiä, syklisiä tieto­rakenteita. Jako­jäännös­operaatio sellaisena kuin se on valmiina monissa ohjelmointikielissä ja laskimissa on tässä yhteydessä usein käytetty modu­laarisen aritme­tiikan sovellus. Esimerkiksi XOR on kahden bitin summa modulo 2.

Musiikin teoriassa aritmetiikka modulo 12 liittyy läheisesti 12 sävelen tasa­vireiseen järjestelmään, jossa eri oktaavien vastaavilla sävelillä on samat nimet ja enharmoniset sävelet samastetaan (toisin sanoen oktaavin päässä toisistaan olevat sävelet, joiden taajuuksien suhde on 1:2 tai 2:1 käsitetään ekvivalenteiksi eikä esimerkiksi cis:n ja des:n välille tehdä eroa.)

Käsin suoritettujen lasku­toimitusten tulosten tarkistamiseen voidaan helposti käyttää yhdeksänkoetta. Se perustuu modu­laariseen aritme­tiikkaan modulo 9 ja erityisesti siihen, että 10 ≡ 1 (mod 9).

Aritmetiikkaan modulo 7 perustuvat menetelmät, joilla voidaan laskea, miksi viikonpäiväksi jokin päivä­määrä sattuu. Peri­aatteessa asia voidaan selvittää laskemalla, kuinka monta vuoro­kautta silloin on kulunut jostakin valitusta alku­päivästä, jota vastaava viikon­päivä tunnetaan, ja ottamalla tästä luku­määrästä jako­jäännös 7:llä jaettaessa. Käytän­nölli­sempiä menetelmiä tarjoavat kuitenkin Zellerin sääntö ja doomsday-sääntö, mutta nekin perustuvat modu­laari­seen arit­me­tiikkaan modulo 7.

Modulaarisella aritmetiikalla on sovelluksia oikeustieteessä, taloustieteessä, peliteoriassa ja muilla yhteis­kunta­tieteiden aloilla, varsinkin sovelluksissa, joissa resurssien kohden­ta­minen on keskeinen kysymys.

Lähteet

• Modular Arithmetic Encyclopædia Britannica.
• Tom M. Apostol: ”5, 6”, Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics. New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1975. ISBN 978-0-387-90163-3
• Maarten Bullynck "Modular Arithmetic before C.F. Gauss. Systematisations and discussions on remainder problems in 18th century Germany (Arkistoitu – Internet Archive)"
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 31.3: Modular arithmetic, pp. 862–868.
• Anthony Gioia, Number Theory, an Introduction Reprint (2001) Dover. ISBN 0-486-41449-3
• T. Sengadir: Discrete Mathematics and Combinatorics. Pearson Education India. ISBN 978-81-317-1405-8

Kirjallisuutta

• ”Congruence”, Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4

Aiheesta muualla

• modular art Modulaarisen aritmetiikan sovelluksia taiteessa
• Modular Arithmetics Wolfram MathWorld.
• artikkeli modulaarisesta aritmetiikasta GIMPS-wikissä (Arkistoitu – Internet Archive)
• Modular Arithmetic and patterns in addition and multiplication tables
• Whitney Music Box—an audio/video demonstration of integer modular math