Minkowskin epäyhtälö

Analyysissä Minkowskin epäyhtälön mukaan L^p-avaruudet ovat normiavaruuksia. Olkoon S mitallinen avaruus, 1 ≤ p ≤ ∞ ja f, g L^p(S):n funktioita. Tällöin f + g kuuluu L^p(S):ään ja

$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p},$

missä yhtäsuuruus pätee jos ja vain jos f ja g ovat lineaarisesti riippumattomia.

Minkowskin epäyhtälö on siis L^p(S)-avaruuden kolmioepäyhtälö. Se voidaan todistaa Hölderin epäyhtälön avulla.

Kuten Hölderin epäyhtälö, Minkowskin epäyhtälölle saadaan diskreetin mitan suhteen muotoon:

$\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}$

kaikille reaali- tai kompleksiluvuille x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n, missä n on S:n dimensio.

Tilastotieteessä Minkowskin epäyhtälö kuuluu seuraavasti: Olkoot X ja Y kaksi satunnaismuuttujaa. Tällöin kaikilla $1\leq p<\infty$ on voimassa

$\left(E|X+Y|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(E|X|^{p}\right)^{1/p}+\left(E|Y|^{p}\right)^{1/p})$