Kosketuspiste
Topologisen avaruuden osajoukon kosketuspisteellä tarkoitetaan sellaista topologisen avaruuden pistettä , että kaikki :n ympäristöt sisältävät ainakin yhden :han kuuluvan pisteen. Formaalisti: ja siten, että kaikilla :n ympäristöillä pätee . Pisteen ei ole välttämätöntä kuulua :han.
Minkä tahansa osajoukon jokainen piste on samalla sen kosketuspiste, koska se kuuluu jokaiseen ympäristöönsä. Lisäksi joukon A kosketuspisteitä ovat kaikki joukon reunapisteet, jotka kuitenkin voivat joko kuulua tai olla kuulumatta A:han.
A:n kosketuspisteiden joukkoa sanotaan A:n sulkeumaksi:
Jokainen joukko on siis sulkeumansa osajoukko: . Jos joukon A kaikki kosketuspisteet kuuluvat A:han eli A on itsensä sulkeuma, A on suljettu joukko, .
Sulkeumaa A saatetaan merkitä myös muilla tavoin: cl(A), Cl(A) tai .
Esimerkkejä
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Avoimen välin ]a,b[ kosketuspisteitä ovat kaikki välillä olevat pisteet sekä myös sen päätepisteet a ja b, vaikka ne eivät kuulu avoimeen väliin.
- Cl ([0,1[) ∩ Cl (]1,2]) = [0,1] ∩ [1,2] = {1}
- Cl ([0,1[ ∩ ]1,2]) = Cl () = .
Kasautumispiste
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Joukon A kasautumispiste on piste x, jonka jokainen ympäristö sisältää x:n lisäksi jonkin muunkin A:han kuuluvan pisteen. Jokainen kasautumispiste on siis samalla kosketuspiste, mutta joukolla saattaa olla myös erakkopisteitä, jotka kuuluvat joukkoon ja ovat myös sen kosketuspisteitä, mutta eivät kasautumispisteitä.[1][2]
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Väisälä, Jussi: Topologia I, 5. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8
- Väisälä, Jussi: Topologia II, 2. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2005. ISBN 951-745-209-8
Viitteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Kirjallisuutta
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2