Antikommutatiivisuus

Binäärioperaatio on antikommutatiivinen tai antikommutoiva, jos alkioiden operointijärjestyksen vaihtaminen muuttaa operaation tuloksen käänteisalkiokseen. Tämä määritelmä on kuitenkin hieman epätarkka, sillä käänteisalkiolla voidaan tarkoittaa joko additiivista käänteisalkiota tai multiplikatiivista käänteisalkiota riippuen joukosta, jossa kyseinen operaation on määritelty. Tarkempi määritelmä käyttäen additiivista käänteisalkiota (ks. vastaluku) seuraa.

Formaali määritelmä

Olkoon $S$ epätyhjä joukko varustettuna binäärisillä operaatioilla $\circ$ ja $*$ . Vaaditaan lisäksi ensimmäiseltä operaatiolta se, että joukko $S$ varustettuna laskutoimituksella $\circ$ muodostaa ryhmän. Tämä on välttämätöntä käänteisalkion olemassaolon kannalta. Jos $a\in S$ , niin merkitään $a$ :n käänteisalkiota $-a$ :lla (kuten vastalukua). Ts.

$a\circ (-a)=-a\circ a=0_{S}$ ,

missä $0_{S}$ on ryhmän $(S,\circ )$ neutraalialkio. Tällöin binäärinen operaatio $*$ on antikommutatiivinen, jos kaikilla $a,b\in S$ pätee

$a*b=-(b*a)$ .

Antikommutatiivinen vai epäkommutatiivinen?

Antikommutatiivisuutta ei pidä sotkea epäkommutatiivisuuteen (tai ei-kommutoivaan). Epäkommutatiivinen tarkoittaa ei-vaihdannaista, eli edellä olevin merkinnöin

$a*b\neq b*a$ .

Antikommutatiivisuus on siis epäkommutatiivisuuden erikoistapaus.

Esimerkkejä

Vektoreiden ristitulo on antikommutatiivinen: jos $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$ , niin $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )$ .
Reaalilukujen vähennyslasku on antikommutatiivinen, kunhan vähennyslasku tulkitaan nimenomaan yhteenlaskun käänteislaskutoimituksena: $a-b=-(b-a)$ kaikille reaaliluvuille $a$ ja $b$ .