Hyperbelirata

Erityyppisiä kiertoratoja gravitaatiokentässä. Harmaa: ympyrärata, punainen: ellipsirata, vihreä: paraabelirata, sininen: hyperbelirata. Kuvioon merkityt luvut (e) tarkoittavat ratojen eksentrisyyksiä.

Erilaisia liikeratoja gravitaatiokentässä. Alaoikealla hyperbelirata. Siinä keskusmassaa ympäröivä potentiaalikuoppa kuvaa kappaleen potentiaalienergiaa sen ollessa eri etäisyyksillä keskuskappaleesta, ja sen liike-energia hyperbeliradalla on kuvattu punaisella. Liike-energia pienenee Keplerin lakien mukaisesti, kun kappale etääntyy keskuskappaleesta ja sen nopeus pienenee. Se osa liike-energiasta, joka jää jäljelle, kun kokonaisenergia nollaantuu, liittyy hyperboliseen pakonopeuteen.

'Oumuamua on Aurinkokunnan ulkopuolelta tullut asteroidi, jolla on hyperbelirata.

Hyperbelirata eli hyperbolinen rata on taivaanmekaniikassa ja astrodynamiikassa kappaleen rata suuremman massan eli keskuskappaleen, esimerkiksi Auringon ympärillä, kun sen nopeus on pakonopeutta suurempi, toisin sanoen suurempi kuin sen vähintään on oltava, jotta se pystyy pakenemaan keskuskappaleen painovoimakentästä. Tällöin Newtonin gravitaatiolaista seuraa, että kappaleen liikerata on hyperbelin muotoinen. Tällaisen radan eksentrisyys on suurempi kuin yksi.

Paraabeliratojen tavoin kaikki hyperbeliradat ulottuvat äärettömän kauas keskuskappaleesta, ja tällaisella radalla liikkuva kappale joutuu vain kerran keskuskappaleen läheisyyteen. Tässä suhteessa ne eroavat ellipsiradoista, jotka ovat umpinaisia käyriä ja joita pitkin liikkuva kappale päätyy täyden kierroksen tehtyään aina samaan paikkaan. Yksinkertaistetuilla oletuksilla voidaan sanoa, että hyperbelirataa pitkin kulkeva kappale päätyy lopulta äärettömän kauas, ja sen nopeus keskuskappaleen suhteen lähestyy tiettyä raja-arvoa.

Kun avaruusluotaimen nopeutta lisätään painovoimalingon avulla sen kulkiessa jonkin planeetan ohi, luotaimen liikettä sen ollessa tämän planeetan vaikutuspiirissä voidaan kuvata hyperbeliradalla.

Hyperbelirataa kuvaavat parametrit

Ellipsiradan tavoin hyperbeliradankin määrittelevät, kun sen suuntautumista ei oteta huomioon, sen isoakselin puolikas ja eksentrisyys. Hyperbeliradalla kuitenkin muut parametrit saattavat olla hyödyllisempiä kappaleen liikkeen ymmärtämiseksi. Seuraavassa taulukossa on lueteltu tärkeimmät parametrit, jotka yleisin oletuksin kuvaavat hyperbelirataa pitkin kulkevan kappaleen liikettä, sekä näitä parametreja toisiinsa yhdistävät yhtälöt. Näissä a tarkoittaa hyperbelin isoakselin ja b pikkuakselin puolikasta ja $v_{\infty }$ lopullista nopeutta, jonka kappale saa etäännyttyään kauas keskuskappaleesta.

Hyperboliset ratayhtälöt

Rataelementti	Tunnus	Lauseke	$v_{\infty }$:n (tai $a$:n) ja $b$:n avulla)
Standardi gravitaatioparametri	$\mu \,$	${\frac {v^{2}}{(2/r-1/a)}}$	$bv_{\infty }^{2}\cot \theta _{\infty }$
Eksentrisyys (>1)	$e$	${\frac {\ell }{r_{p}}}-1$	${\sqrt {1+b^{2}/a^{2}}}$
Isoakselin puolikas (<0)	$a\,\!$	$1/(2/r-v^{2}/\mu )$	$-\mu /v_{\infty }^{2}$
Hyperbolinen pakonopeus	$v_{\infty }$	${\sqrt {-\mu /a}}$
Hyperbelin asymptoottien välinen (ulko)kulma	$2\theta _{\infty }$	$2\sin ^{-1}(-1/e)$	$\pi +2\tan ^{-1}(b/a)$
Impaktiparametri (pikkuakselin puolikas)	$b$	$-a{\sqrt {e^{2}-1}}$	${\displaystyle }$
Semi-latus rectum	$\ell$	$a(1-e^{2})$	$b^{2}/a=h^{2}/\mu$
Periapsinen etäisyys	$r_{p}$	$a(1-e)$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a$
Ominaisrataenergia	$\varepsilon$	$-\mu /2a$	$v_{\infty }^{2}/2$
Ominaisimpulssimomentti	$h$	${\sqrt {\mu \ell }}$	$bv_{\infty }$

Isoakselin puolikas, energia ja hyperbolinen pakonopeus

Hyperbeliradan isoakselin puolikas ($a\,\!$) on hyperbelin asymptoottien leikkauspisteen ja sitä lähimpänä olevan hyperbeliradan pisteen eli periapsiksen välinen etäisyys. Yleensä se määritellään negatiiviseksi, jotta ellipsiradoille johdetut yhtälöt soveltuisivat myös hyperbeliradoille.

Isoakselin puolikas liittyy suoraan ominaisrataenergiaan ($\epsilon \,$) tai radan karakteristiseen energiaan $C_{3}$ sekä myös rajanopeuteen ($v_{\infty }\,\!$), jota kappaleen nopeus lähestyy sen etääntyessä äärettömän kauas keskuskappaleesta:

$v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a$ tai $a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}$

missä: $\mu =Gm\,\!$ on standardi gravitaatioparametri (gravitaatiovakion ja kappaleen massan tulo) ja $C_{3}$ karakteristinen energia, jota yleisesti käytetään suunniteltaessa planeettojen välisiä lentoja.

Hyperbeliradan tapauksessa kokonaisenergia on positiivinen, kun taas ellipsiradan tapauksessa se on negatiivinen.

Eksentrisyys sekä tulo- ja poistumissuuntien välinen kulma

Hyperberliradan eksentrisyys ($e\,$) on suurempi kuin 1. Eksentrisyys liittyy suoraan käyrän asymptoottien väliseen kulmaan. Jos eksentrisyys on vain vähän suurempi kuin 1, hyperbeli on terävä V-kirjaimen muotoinen. Jos $e={\sqrt {2}}$, asymptootit ovat toisiinsa nähden kohtisuorassa. Kun $e>2$, asymptoottien välinen kulma on suurempi kuin 120°, ja periapsiksen etäisyys niiden leikkauspisteestä on suurempi kuin isoakselin puolikas. Kun eksentrisyys kasvaa rajatta, hyperbeli lähestyy muodoltaan suoraa viivaa.

Keskuskappaleen ja periapsiksen kautta kulkeva suoran ja hyperberlin asymptootin välinen kulma on kappaleen luonnollinen anomalia, kun etäisyys kasvaa rajatta ($\theta _{\infty }\,$), ja näin ollen $2\theta _{\infty }\,$ on kappaleen tulo- ja poistumissuuntien ja samalla radan asymptoottien välinen kulma. Tämän osoittaa yhtälö

$\theta {_{\infty }}=\cos ^{-1}(-1/e)\,$ or $e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,$

Impaktiparametri ja lähin etäisyys keskuskappaleesta

Kappaleiden hyperbeliratoja niiden lähestyessä keskuskappaletta (pieni täplä) samalla nopeudella ja samasta suunnasta mutta eri suurilla impaktiparametreilla ja eksentrisyyksillä. Keltainen viiva kulkee läheltä keskuskappaleen ohi.

Impaktiparametri on häiriintymättömästi hyperbeliradalla liikkuvan kappaleen lyhyin etäisyys keskuskappaleesta. Se on sama kuin ratahyperberlin pikkuakselin puolikas.

Avaruusluotaimen tai komeetan lähestyessä planeettaa impaktiparametri ja lähestymisnopeus voidaan tuntea tarkoin. Jos keskuskappale on tunnettu, ohittavan kappaleen rata voidaan laskea, kuten myös kappaleen etäisyys sen ollessa periapsiksessa. Jos tämä on pienempi kuin planeetan säde, kappaleen voidaan olettaa törmäävän planeettaan. Tämä lyhyin etäisyys eli periapsiksen etäisyys voidaan laskea seuraavasti:

$r_{p}=-a(e-1)=\mu /v{_{\infty }}^{2}({\sqrt {1+(bv{_{\infty }}^{2}/\mu )^{2}}}-1)$

Esimerkiksi Maan säde on noin 6 400 kilometriä. Niinpä kun komeetta lähestyy Maata nopeudella 12,5 kilometriä sekunnissa, mikä on likimäärin pienin nopeus, jolla aurinkokunnan ulkopuolelta tuleva kappale voi saada, se kulkee Maan ohi törmäämättä, mikäli sen impaktiparametri on suurempi kuin 8 600 kilometriä, eli noin 34 % suurempi kuin Maan säde. Jupiterin säde on noin 70 000 kilometriä, joten sitä lähestyvä kappale, jonka nopeus on 5,5 km/s, kulkee Jupiterin ohi törmäämättä vain, jos sen impaktiparametri on vähintään 700 000 kilometriä eli noin 11 kertaa Jupiterin säde.

Jos keskuskappaleen massaa ei tunneta, sen gravitaatioparametri ja samalla massakin voidaan määrittää sen perusteella, minkä verran sitä lähestyvä pienempi kappale poikkeaa suunnastaan, sekä impaktiparametrin ja lähestymisnopeuden avulla. Koska kaikki nämä tekijät voidaan määrittää tarkasti, avaruusluotaimen ohikulun avulla voidaan hyvin arvioida kappaleiden massoja:

Kulma, jonka verran pienemmän kappaleen liikesuunta lopulta poikkeaa tulosuunnasta, on

$\mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2$, missä $\delta =2\theta _{\infty }-\pi$

Liikeyhtälöt

Paikka

Hyperbeliradalla luonnollisen anomalian $\theta$ ja kappaleiden välisen etäisyyden ($r\,$) sitoo toisiinsa ratayhtälö:

$r={\frac {\ell }{1+e\cdot \cos \theta }}$

Luonnollisen anomalian $\theta$ ja eksentrisen anomalian E välillä on yhteys:

$\cosh {E}={{\cos {\theta }+e} \over {1+e\cdot \cos {\theta }}}$     or     $\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {E}{2}}$

Eksentrisen anomalian E liittää keskianomaliaan M Keplerin yhtälö:

$M=e\sinh E-E$

Keskianomalia on verrannollinen aikaan

$M={\sqrt {\frac {\mu }{-a^{3}}}}.(t-\tau ),$ missä μ on gravitaatioparametri ja a radan isoakselin puolikas.

Lentoratakulma

Lentoratakulma (φ) on kappaleen liikesuunnan ja säteittäisen suunnan normaalin välinen kulma, joka on nolla periapsiksessa ja lähestyy äärettömän kaukana 90 astetta:

$\tan(\phi )={\frac {e\cdot \sin \theta }{1+e\cdot \cos \theta }}$

Nopeus

Standardeilla oletuksilla hyperbelirataa pitkin kulkevan kappaleen ratanopeus ($v\,$) voidaan laskea vis viva -yhtälöllä:

$v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}$

missä:

• $\mu \,$ on standardi gravitaatioparametri,
• $r\,$ on liikkuvan kappaleen etäisyys keskuskappaleesta, ja
• $a\,\!$ on isoakselin puolikas negatiivisena.

Samoilla oletuksilla radan jokaisessa pisteessä kappaleen ratanopeuden ($v\,$), paikallisen pakonopeuden (${v_{esc}}\,$) ja hyperbolisen loppunopeuden ($v_{\infty }\,\!$) välillä on yhteys:

$v^{2}={v_{esc}}^{2}+{v_{\infty }}^{2}$

Tästä seuraa, että vaikka kappaleen nopeus olisi vain vähän pakonopeutta suurempi, tämä erotus ($\Delta v$) voi silti saada aikaan, että kappaleen lopullinen etääntymisnopeus on hyvinkin suuri. Esimerkiksi paikassa, jossa pakonopeus on 11,2 km/s, nopeudella 11,6 km/s ($\Delta v$ = 0,4 km/s) liikkuva kappale saa jo loppunopeuden 3,02 km/s.

${\sqrt {11{,}6^{2}-11{,}2^{2}}}=3{,}02$

Tämä on esimerkki Oberthin ilmiöstä. Tämä pätee myös kääntäen: hyperbolisella radalla olevan kappaleen nopeutta ei tarvitse hidastaa suhteellisesti kovin paljon, jotta sen nopeus pienenisi pakonopeutta pienemmäksi ja kappale jäisi kiertoradalle. Maan ilmakehässä tämän voi saada aikaan jo ilmanvastus.

Radiaalinen hyperbelirata

Radiaalinen hyperbelirata on suoraa viivaa pitkin kulkeva jaksoton liikerata, jolla kappaleen nopeus keskuskappaleen suhteen on koko ajan suurempi kuin pakonopeus. Tästä on kaksi tapausta: kappaleet liikkuvat toisiaan kohti tai toisistaan poispäin. Kyseessä on hyperbolinen rata, jolla pikkuakselin puolikas on 0 ja eksentrisyys 1. Vaikka eksentrisyys on 1, kyseessä ei ole paraabelirata.

Relativistinen kahden kappaleen probleema

Yleisen suhteellisuusteorian mukaan kappaleiden liikerata, kun niillä on niin paljon energiaa, että ne pääsevät pakenemaan toistensa gravitaatiokentän ulkopuolelle, ei ole tarkoin hyperbelin muotoinen ja voi poiketa hyperbelistä hyvinkin paljon, jos gravitaatiokenttä on tarpeeksi voimakas. Kuitenkin termiä "hyperbelirata" käytetään yhä kuvaamaan myös tämän tyyppisiä ratoja.

Lähteet

• David A. Vallado: Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 3. ed. Hawthrone Press, 2007. ISBN 978-1-881883-14-2