Paraabelirata

Erityyppisiä kiertoratoja gravitaatiokentässä. Harmaa: ympyrärata, punainen: ellipsirata, vihreä: paraabelirata, sininen: hyperbelirata. Kuvioon merkityt luvut (e) tarkoittavat ratojen eksentrisyyksiä.

Erilaisia liikeratoja gravitaatiokentässä. Alavasemmalla paraabelirata. Siinä keskusmassaa ympäröivä potentiaalikuoppa kuvaa kappaleen potentiaalienergiaa sen ollessa eri etäisyyksillä keskuskappaleesta, ja sen liike-energia paraabeliradalla on kuvattu punaisella. Liike-energia pienenee Keplerin lakien mukaisesti, kun kappale etääntyy keskuskappaleesta ja sen nopeus pienenee. Paraabeliradalla kappaleen liike-energia lähestyy asymptoottisesti nollaa.

Paraabelirata eli parabolinen rata on taivaanmekaniikassa ja astrodynamiikassa kappaleen rata suuremman massan eli keskuskappaleen, esimerkiksi Auringon ympärillä, kun sen nopeus on tarkalleen pakonopeuden suuruinen. Tällöin Newtonin gravitaatiolaista seuraa, että kappaleen liikerata on paraabelin muotoinen. Tällaisen radan eksentrisyys on 1. Kun kappale liikkuu tällaista rataa pitkin keskuskappaleesta poispäin, rataa sanotaan pakoradaksi, päinvastaisessa tapauksessa kaappausradaksi. Paraabelirataa sanotaan joskus myös C₃ = 0 -radaksi, mikä liittyy radan karakteristiseen energiaan.

Samoin kuin hyperbeliradalla mutta toisin kuin ellipsiradalla, paraabeliradalla kulkeva kappale joutuu vain kerran keskuskappaleen läheisyyteen ja poistuu sen jälkeen sen läheisyydestä lopullisesti.

Standardien oletusten ollessa voimassa pakorataa pitkin kulkeva kappale etääntyy paraabelin muotoista rataa pitkin äärettömän kauas nopeudella, joka on verrannollinen keskuskappaleen massaan ja lähestyy asymptoottisesti nollaa, minkä vuoksi kappale ei koskaan palaa keskuskappaleen läheisyyteen. Paraabeliradat vastaavat pienintä energiaa, jolla kappale poistuu lopullisesti keskuskappaleen läheisyydestä. Tällaisen radan karakteristinen energia on nolla, ja siten se rajatapauksena erottaa toisistaan hyperbeliradat, joilla karakteristinen energia on positiivinen, ja ellipsiradat, joilla se on negatiivinen.

Todellisuudessa minkään taivaankappaleen rata ei ole paraabelirata, sillä kappaleen energia tuskin voi olla tarkalleen nolla. Yksinkertaisuuden vuoksi monien komeettojen ratoja kuitenkin käsitellään paraabeliratoina, kun niiden eksentrisyys on hyvin lähellä arvoa 1 eli niiden rataellipsit ovat hyvin pitkulaisia.

Nopeus

Paraabelirataa pitkin kulkevan kappaleen ratanopeus ($v\,$) voidaan laskea kaavasta:

$v={\sqrt {2\mu \over r}}$

missä:

• $r\,$ on kappaleen säteittäinenetäisyys keskuskappaleesta,
• $\mu \,$ on standardi gravitaatioparametri, toisin sanoen keskuskappaleen massan ja gravitaatiovakion tulo.

Kappaleen nopeus radan jokaisessa kohdassa vastaa pakonopeutta kyseisessä paikassa.

Jos kappaleella on pakonopeus Maan suhteen, se ei riitä siihen, että kappale poistuu myös Aurinkokunnassa. Näin ollen tällaisen kappaleen rata lähellä Maata muistuttaa paraabelia, mutta kauempana se taipuu Aurinkoa kiertäväksi ellipsiradaksi.

Kappaleen nopeus paraabeliradalla ($v\,$) on kullakin hetkellä ${\sqrt {2}}$ kertaa niin suuri kuin olisi sen ratanopeus sellaisella ympyräradalla, jonka säde on yhtä suuri kuin kappaleen kulloinenkin sijainti paraabeliradalla:

$v={\sqrt {2}}\,v_{o}$

missä

• $v_{o}\,$ on kappaleen ratanopeus ympyräradalla.

Liikeyhtälö

Paraabeliradalla liikkuvan kappaleen ratayhtälöksi saadaan:

$r={h^{2} \over \mu }{1 \over {1+\cos \nu }}$

missä:

• $r\,$ on radalla liikkuvan kappaleen säteittäinen etäisyys keskuskappaleesta,
• $h\,$ on kappaleen ominaisimpulssimomentti
• $\nu \,$ on kappaleen luonnollinen anomalia,
• $\mu \,$ on standardi gravitaatioparametri.

Energia

Standardeilla oletuksilla paraabeliradan ominaisrataenergia ($\epsilon \,$) on nolla, ja näin ollen rataenergian säilymistä tällaisella radalla kuvaava yhtälö saa muodon:

$\epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over r}=0$

missä:

• $v\,$ on radalla liikkuvan kappaleen liike-energia,
• $r\,$ on kappaleen säteittäinen etäisyys keskuskappaleesta, ja
• $\mu \,$ on standardi gravitaatioparametri.

Tämä on täysin yhtäpitävä sen kanssa, että radan karakteristinen energia eli ratanopeuden neliö kappaleen etäännyttyä äärettömän kauas on nolla:

$C_{3}=0$

Barkerin yhtälö

Barkerin yhtälö kertoo, kuinka suuri on paraabeliradalla liikkuvan kappaleen luonnollinen anomalia milläkin hetkellä.

$t-T={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)$

missä:

• D = tan(ν/2), ν on radan luonnollinen anomalia,
• t on se hetki, jolloin luonnollisella anomalialla on kyseinen ervo,
• T on hetki, jolloin kappale on radan periapsiksessa,
• μ on standardi gravitaatioparametri,
• p on radan semi-latus rectum ( p = h²/μ )

Yleisemmin aika, joka kuluu kappaleen siirtyessä yhdestä radan pisteestä toiseen, on

$t_{f}-t_{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D_{f}+{\frac {1}{3}}D_{f}^{3}-D_{0}-{\frac {1}{3}}D_{0}^{3}\right)$

Yhtälö voidaan ilmaista myös periapsiksesta mitatun etäisyyen avulla paraabeliradalla r_p = p/2:

$t-T={\sqrt {\frac {2r_{p}^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)$

Toisin kuin Keplerin yhtälö, jolla lasketaan luonnolliset anomaliat ellipsi- ja hyperbeliradoilla, Barkerin yhtälön mukainen luonnollinen anomalia voidaan ratkaista suoraan mille tahansa ajanhetkelle 't. Jos tehdään seuraavat sijoitukset:

${\begin{aligned}A&={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)\\[3pt]B&={\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {A^{2}+1}}}}\end{aligned}}$

saadaan

$\nu =2\arctan \left(B-{\frac {1}{B}}\right)$

Radiaalinen paraabelirata

Radiaalinen paraabelirata on jaksoton suoraviivainen liikerata, jolla kappaleiden nopeus toistensa suhteen on koko ajan pakonopeuden suuruinen. Tästä on kaksi tapausta: kappaleet liikkuvat toisiaan kohti tai toisistaan poispäin.

Kappaleen sijaintia ajan funktiona esittää yksinkertainen lauseke:

$r={\sqrt[{3}]{4.5\mu t^{2}}}$

missä

• μ on standardi gravitaatioparametri
• $t=0\!\,$ esittää siitä hetkestä kulunutta aikaa, jolloin kappaleen voidaan ajatella lähteneen keskuskappaleen keskipisteestä tai saapuvan sinne, mikäli keskuskappale olisi pistemäinen.

Joka hetki hetkestä $t=0\!\,$ laskettu keskinopeus on 1,5 kertaa niin suuri kuin nopeus kuluvalla hetkellä, toisin sanoen 1,5 kertaa paikallisen pakonopeuden suuruinen.

Jos halutaan laskea aika siitä hetkestä, jolloin kappale lähti keskuskappaleen pinnalta, toisin sanoen asetetaan $t=0\!\,$ lähtöhetkelle, edellä olevalla kaavalla lasketusta ajasta on vähennettävä tietty vakioarvo, joka vastaa hetkeä, jolloin keskuskappaleen keskipisteestä lähtenyt kappale tämän kaavan mukaan saavuttaisi keskuskappaleen pinnan. Esimerkiksi Maasta suoraan ylöspäin pakonopeudella ammutun kappaleen tapauksessa tämä olisi 6 minuuttia 20 sekuntia.