Keplerin yhtälö

Keplerin yhtälö on eräs taivaanmekaniikan perustavimmista yhtälöistä. Se ilmaisee yhteyden kahden taivaankappaleiden (planeetta, asteroidi, komeetta, tms.) liikkeiden laskemisessa tarvittavan suureen, keskianomalian $M$ ja eksentrisen anomalian $E$, välillä. Keplerin yhtälö on näennäisesti yksinkertainen:

$M=E-e\sin E$,

missä $e$ on taivaankappaleen radan eksentrisyys. Yhtälössä sekä $E$ että $M$ on lausuttu radiaaneina. Varsinainen ongelma on, että tyypillisesti $M$ ja $e$ tunnetaan, ja eksentrinen anomalia $E$ täytyisi saada selville. Tämän ratkaiseminen ei ole mitenkään mahdollista analyyttisesti vaan ratkaisussa joudutaan aina turvautumaan numeerisiin menetelmiin.

Yllä oleva muoto Keplerin yhtälöstä on voimassa ellipsiradoille. Hyperbeliradoille se pätee myös, mutta tällöin kulma $E$ on imaginäärinen. Paraabeliradalle yhtälöstä on olemassa oma erikoistapauksensa, jota kutsutaan Barkerin yhtälöksi.

Ratkaisu

Jos taivaankappaleen rata halutaan esittää ajan funktiona, lasku vaatii käytännössä eksentrisen anomalian ratkaisemista jokaista aika-askelta varten. Tästä syystä Keplerin yhtälön mahdollisimman tehokas ratkaisu on tärkeää. Yhtälön muoto tuottaa kuitenkin hankaluutta, sillä jos rata on hyvin soikea eli $e$ on lähellä ykköstä ja etenkin jos tämän lisäksi $M$ on pieni (lähellä nollaa), yhtälön iterointi suppenee varsin hitaasti ja voi olla numeerisesti epätarkka. Tästä syystä erilaisia menetelmiä yhtälön ratkaisemiseksi on esitetty satoja.

Eräs kätevimpiä menetelmiä on seuraava. Merkitään $f=E-e\sin E-M$, ja lasketaan tämän ensimmäinen ja toinen derivaatta $E$:n suhteen eli $f\,'=1-e\cos E$ ja $f\,''=e\sin E$. Nyt yhtälö voidaan ratkaista valitsemalla alkuarvoksi $E_{0}=M$ ja iteroimalla kaavasta

$E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f_{n}}{\sqrt {(f'_{n})^{2}-f_{n}f''_{n}}}}$,

kunnes haluttu tarkkuus on saavutettu (eli kunnes $|E_{n+1}-E_{n}|<\epsilon$, missä $\epsilon$ on yleensä luokkaa 10⁻⁶ tai pienempi). Tämä menetelmä toimii aina ja suppenee hyvin nopeasti.