Gabrielin torvi

Gabrielin torvi eli Torricellin trumpetti on Evangelista Torricellin keksimä geometrinen kappale tai sen rajapinta, jolla on äärellinen tilavuus mutta ääretön pinta-ala.

Nimen alkuperä

Nimi Gabrielin torvi viittaa arkkienkeli Gabrieliin, joka Raamatun mukaan käyttää torvea ilmoittaakseen ihmisille toisinaan ilahduttavia, toisinaan kohtalokkaitakin uutisia, esimerkiksi Harmagedonin taistelun yhteydessä, yhdistäen täten jumalallisen äärettömyyden ja inhimillisen äärellisyyden.

Matemaattinen määritelmä ja ominaisuuksia

Funktion $x\mapsto {\tfrac {1}{x}}$ kuvaaja, hyperbeli

Gabrielin torvi on pyörähdyspinta, joka muodostuu kun hyperbelin muotoinen käyrä $y={\frac {1}{x}}$ (x ≥ 1) pyörähtää kolmessa ulottuvuudessa x-akselin ympäri. Mukana on vain se osa käyrästä, jossa $x\geq 1$, jotta vältetään asymptootti kohdassa $x=0$.

Gabrielin torven ominaisuudet keksittiin alkujaan soveltamalla Cavalierin periaatetta ennen kuin integraalilaskenta keksittiin, mutta nykyisin sitä on helpointa käsitellä integraalilaskennan avulla. Soveltamalla pyörähdyskappaleen tilavuuden ja pyörähdyspinnan alan lausekkeita voidaan laskea torven sen osan pinta-ala ja tilavuus, joka jää tasojen $x=1$ ja $x=a$ väliin, missä $a>1$. Tällöin saadaan torven sisään jäävän alueen tilavuudeksi:

$V=\pi \int \limits _{1}^{a}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\mathrm {d} x=\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)$

ja torven pinta-alaksi:

$A=2\pi \int \limits _{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\mathrm {d} x>2\pi \int \limits _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \ln(a).$

Näissä a voi olla kuinka suuri luku tahansa, mutta tilavuuden lausekkeesta nähdään, ettei torven tilavuus koskaan ylitä arvoa $\pi$. Se voi kyllä olla kuinka lähellä $\pi$:tä tahansa, kunhan vain a on tarpeeksi suuri. Toisin sanoen tilavuuden raja-arvo a:n kasvaessa on $\pi$ eli

$\lim _{a\to \infty }V=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi \cdot \lim _{a\to \infty }\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi .$

Voidaan siis ajatella, että vaikka torvi todella olisi äärettömän pitkä, sillä on äärellinen tilavuus. Sitä vastoin torven pinta-alalle saatu lauseke kasvaa rajattomasti a:n kasvaessa. Sillä ei ole ylärajaa. Niinpä torven kokonaispinta-ala on ääretön. Toisin sanoen:

$\lim _{a\to \infty }A\geq \lim _{a\to \infty }2\pi \ln(a)=\infty .$

Näennäinen paradoksi

Kun Gabrielin torven ominaisuudet oli keksitty, sitä seikkaa, että xy-tason äärettömän pitkälle ulottuvan alueen pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvällä kappaleella on äärellinen tilavuus, pidettiin paradoksina.

Vaikka torven ja xy-tason leikkauksen pinta-ala on ääretön, sen ja minkä tahansa muun samansuuntaisen tason pinta-ala on äärellinen. Näin ollen tilavuus, joka voidaan laskea myös leikkausten 'painotettuna keskiarvona, on äärellinen.

Mahdollisesti vielä vakuuttavampi lähestymistapa on pitää torvea levyjen pinona, joiden säde jatkuvasti pienenee. Koska ne ovat kaikki samanmuotoisia, voisi ensin kuvitella, että torven tilavuutta laskettaessa olisi ensin laskettava levyjen säteet yhteen, mutta ne muodostavat harmonisen sarjan, jonka raja-arvo on ääretön. Tarkemmin ajateltuna on kuitenkin selvää, että onkin laskettava niiden säteiden neliöiden summa. Niistä kunkin säde on $r={\frac {1}{n}}$ ja pinta-ala $\pi r^{2}={\frac {\pi }{n^{2}}}$. Sarja ${\frac {1}{n}}$ hajaantuu, mutta sarja ${\frac {1}{n^{2}}}$ suppenee. Yleensäkin jokaiselle reaaliluvulle $\epsilon >0$ pätee, että ${\frac {1}{n^{1+\epsilon }}}$ suppenee.

Näennäinen paradoksi muodosti osan äärettömyyden luonteesta käydyssä kirjallisessa väittelyssä, johon osallistuivat monet aikakauden huomattavimmat ajattelijat kuten Thomas Hobbes, John Wallis ja Galileo Galilei.

Maalarin paradoksi

Koska torvella on äärellinen tilavuus, mutta ääretön pinta-ala, näyttäisi siltä, että se voitaisiin täyttää äärellisellä määrällä maalia, mutta sama määrä maalia ei riittäisi peittämään sen sisäpintaa, mikä vaikuttaa paradoksilta.

Jos maalikerros olisi äärettömän ohut, riittäisi pisarakin maalia maalaamaan koko torven. Todellisuudessa näin ei tietenkään ole, vaan maalikerroksella on aina jokin positiivinen, nollaa suurempi paksuus. Gabrielin torven sisäpinnalle levitetty kerros ei kuitenkaan voisi olla tasapaksu, vaan kohdassa x = a sen paksuus voisi olla enintään ${\frac {1}{a}}$, ja a:n kasvaessa tämä paksuus pienenee rajatta. Tätä paksumpi maalikerros ei torven sisään kyseiseen kohtaan mahtuisikaan. Puhtaan matemaattisessa mielessä äärellinen määrä maalia tosiaan voi peittää äärettömän pinta-alan, kunhan vain maalikerroksen paksuus yhä kauemmas mentäessä pienee tarpeeksi nopeasti, jotta sen pieneneminen kompensoi pinta-alan kasvun. Gabrielin torven tapauksessa sen paksuuden pienenemisen tekeekin välttämättömäksi myös torven kapeneminen. Sen sijaan sen ulkopinnan peittäminen tasapaksulla maalikerroksella, olipa se kuinka ohut tahansa, edellyttäisi äärettömän paljon maalia.

Näin ollen paradoksi on ratkaistavissa siinäkin tapauksessa, että maali ja torven materiaali oletetaan jatkuvaksi aineeksi. Todellisuudessa aine ei kuitenkaan ole loppumattomiin jaettavissa, ja jossakin kohdassa torvi tulee liian kapeaksi, jotta sisään mahtuisi edes yksi molekyyli maalia. Sitä paitsi torvi itsekin koostuu atomeista tai molekyyleistä, eikä sen pinta tarkkaan katsottuna ole jatkuva sileä käyrä. Täten paradoksin edellyttämä tilanne ei edes ole fysikaalisesti toteutettavissa, ja siihen johtava päättely menettää merkityksensä, sillä jatkuvan aineen sijasta on lopulta käsiteltävä erillisiä hiukkasia ja niiden välisiä etäisyyksiä ja tällöin turvauduttava kvanttifysiikkaan.

Käänteinen tilanne

Gabrielin torvelle käänteistä tilannetta, jossa pyörähdyspinnan ala olisi äärellinen mutta se rajoittaisi äärettömän tilavuuden, ei voi esiintyä. Tämä voidaan todistaa seuraavasti:

Lause

Olkoon f: [1,∞) → [0,∞) jatkuvasti differentioituva funktio. Olkoon S pyörähdyskappale, joka syntyy käyrän $y=f(x)$ pyörähtäessä x-akselin ympäri. Jos tämän kappaleen pinnan ala on äärellinen, myös kappaleen tilavuus on äärellinen.

Todistus

Koska torven poikkipinta-ala $A$ on äärellinen, saadaan yläraja-arvo:

${\begin{aligned}\lim _{t\to \infty }\sup _{x\geq t}f(x)^{2}~-~f(1)^{2}&=\limsup _{t\to \infty }\int \limits _{1}^{t}\left(f(x)^{2}\right)'\mathrm {d} x\\&\leq \int \limits _{1}^{\infty }\left|\left(f(x)^{2}\right)'\right|\mathrm {d} x=\int \limits _{1}^{\infty }2f(x)\left|f'(x)\right|\mathrm {d} x\\&\leq \int \limits _{1}^{\infty }2f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\mathrm {d} x={\frac {A}{\pi }}\\&<\infty .\end{aligned}}$

On siis olemassa sellainen $t_{0}$, että pienin yläraja ${f(x)|x\geq t_{0}}$ on äärellinen. Niinpä myös

$M=sup{f(x)|x>1}$

on äärellinen, koska f on jatkuva funktio, mistä seuraa, että f on rajoitettu välillä [1,∞). Lopuksi todetaan, että tilavuus

${\begin{aligned}V&=\int \limits _{1}^{\infty }f(x)\cdot \pi f(x)\mathrm {d} x\\&\leq \int \limits _{1}^{\infty }{\frac {M}{2}}\cdot 2\pi f(x)\mathrm {d} x\\&\leq {\frac {M}{2}}\cdot \int \limits _{1}^{\infty }2\pi f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\mathrm {d} x={\frac {M}{2}}\cdot A.\end{aligned}}$

Niinpä jos pinta-ala A on äärellinen, myös tilavuus V on äärellinen. mot.

Katso myös

• Hyperbeli
• Kochin käyrä
• Maailmankaikkeuden muoto
• Pyörähdyspinta
• Zenonin paradoksit

Kirjallisuutta

• William P. Loce: Supersolids: Solids Having Finite Volume and Ininite Surfaces. The Mathematics Teacher, Tammikuu 1989, 82. vsk, nro 1, s. 60–65. Artikkelin verkkoversio.

Aiheesta muualla

• Gabriel's Other Possessions tandfonline.com. doi:10.1080/10511970.2010.517601
• Gabriel's Wedding Cake people.emich.edu. Arkistoitu 8.1.2016. Viitattu 23.9.2016.
• A Paradoxical Paint Pail maa.org.
• Gabriel's Horn Wolfram MathWorld.
• Gabriel's Horn Wolfram Demonstrations Project.
• Gabriel's Horn: An Understanding of a Solid with Finite Volume and Infinite Surface Area palmbeachstate.edu.