Yläraja

Yläraja on joukko-opissa käsite, joka määritellään siten että olio M on joukon E yläraja, jos jokaisella joukon E alkiolla x pätee x ≤ M. Vastaavasti määritellään joukon alaraja.

Supremum

Pääartikkeli: Supremum

Supremumin määritelmä: pienin joukon E ylärajoista. Jokaisella joukon E ylärajoista M pätee sup E ≤ M.

G on joukon E supremum eli G =: sup E ⇔

1) x ≤ G, kaikilla joukon E alkioilla x (eli G on joukon E eräs yläraja)
2) G ≤ M, kaikilla joukon E ylärajoilla M

Pätee myös

G =: sup E ⇔

1) G on joukon E yläraja
2) kaikkia lukuja e > 0 pätee: on olemassa joukon E alkio x siten että x > G - e.

Todistus:

Koska kohta 1 seuraa supremumin määritelmästä, riittää todistaa vain kohta 2. Tehdään vastaoletus eli kaikilla joukon E alkioilla pätee x ≤ G - e (jollakin e > 0) joten tällöin myös G - e olisi joukon yläraja, mikä taasen on ristiriita (G - e < G), joten alkuperäinen väite on totta.

Infimum

Pääartikkeli: Infimum

Määritelmä: suurin alaraja. Merkitään inf E eli joukon E suurin alaraja.

I = inf E ⇔

1) x ≥ I kaikilla x joukossa E
2) I ≥ M kaikilla joukon E alarajoilla <=>

On olemassa joukon E alkio x siten että x < I + e kaikilla e > 0. Jos kaikilla x ≥ I + e niin I + e olisi joukon alaraja, mikä olisi ristiriita.

Huomautuksia

Jos joukolla E on olemassa maksimi eli suurin arvo, on se joukon supremum.

Todistus:

Olkoon a joukon E maksimi eli max E. Tällöin a on joukon E yläraja, koska kaikilla x joukossa E pätee x ≤ a. Koska a kuuluu joukkoon E, niin pätee a ≤ sup E. Koska a on joukon yläraja pätee myös: a ≥ sup E. Näin ollen vain a = sup E käy kyseeseen.

Katso myös

• Täydellisyysaksiooma

Kirjallisuutta

• Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6