Epäjatkuvuuskohta
Epäjatkuvuuskohta liittyy käsitteenä matematiikassa funktion jatkuvuuteen. Epäjatkuvuuskohta on funktion määrittelyjoukon arvo (eli joukko-opissa alkio), jonka ympäristössä funktion arvot eivät toteuta jatkuvuusehtoa. Jatkuvuusehto riippuu matematiikan haarasta ja käsiteltävästä tilanteesta.
Yhden reaalimuuttujan tapaus
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Yhden muuttujan reaalifunktiolla on jatkuvuusehto
jossa kohdassa toispuoleiset raja-arvot vasemmalta puolelta ja oikealta puolelta tulee olla samat ja tämän lisäksi funktion arvon tulee olla raja-arvojen suuruinen. Jos toinen tai molemmat raja-arvot eivät ole olemassa tai ne ovat eri suuruiset, funktio on epäjatkuva kohdassa . Jos funktion arvo on eri suuri kuin raja-arvot, on funktio epäjatkuva.
Epäjatkuvuuskohtien luokittelua
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]On huomattava, että jatkuvuus ja epäjatkuvuus ovat funktion ominaisuuksia, joten funktio voi olla epäjatkuva vain pisteissä, joissa se on määritelty![1] Epäjatkuvuuskohdat voidaan luokitella seuraaviin kategorioihin tai niiden yhdistelmiin.
Hyppäysepäjatkuvuus
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Piste, jossa funktion kuvaaja ''hyppää'' äkillisesti arvosta toiseen. Esimerkiksi funktio ,
on epäjatkuva pisteessä .[1]
''Karkailu äärettömyyteen''
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Esimerkiksi funktio ,
on epäjatkuva pisteessä . Lähestyttäessä origoa vasemmalta funktion arvot pienenevät rajatta ja vastaavasti oikealta lähestyttäessä ne kasvavat rajatta.[1]
Heilahteluepäjatkuvuus
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Heilahteluepäjatkuvuuskohta on piste, jossa funktiota ei voi määritellä jatkuvaksi, sillä funktio saa millä tahansa välillä pisteen ympäristössä useita eri arvoja. Esimerkiksi funktio ,
on epäjatkuva pisteessä riippumatta siitä, miten luku valitaan. Funktio saa kaikki arvot välillä , kun , riippumatta siitä, kuinka pienellä välillä origon ympärillä funktiota tarkasteltaisiin. Näin ollen, oli mitä tahansa, ei ole jatkuva origossa.[1]
Poistuva epäjatkuvuus
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Funktio saadaan ''korjattua'' jatkuvaksi epäjatkuvuuskohdassa, kun sen arvoa kyseisessä pisteessä muutetaan. Esimerkiksi funktio ,
on epäjatkuva pisteessä , mutta ''korjaamalla'' siitä tulisi jatkuva.[1]
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Weisstein, Eric W.: Continuous (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- Weisstein, Eric W.: Continuous Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Kirjallisuutta
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.