Cauchyn jono

Kuvaajaan on kuvattu sinisellä erään Cauchyn jonon pisteitä $x_{n}$. Pisteet lähentyvät yhä pienemmälle etäisyydelle toisistaan $n$:n kasvaessa.

Cauchyn jono eli Cauchy-jono on jono, jonka jäsenet kasautuvat mielivaltaisen lähelle toisiaan jonon edetessä eli joka toteuttaa ehdon:

jokaista positiivista lukua $\epsilon >0$ kohti voidaan valita sellainen posi­tiivinen kokonais­luku n, että $|a_{n+p}-a_{n}|<\epsilon$ kaikilla posi­tiivi­silla kokonais­luvuilla p.

Tätä kutsutaan Cauchyn suppenemisehdoksi ranskalaisen matemaatikon Augustin-Louis Cauchyn (1789−1857) mukaan, joka totesi, että reaalilukujen jono $(a_{n})$ suppenee, jos ja vain jos se toteuttaa ehdon.

Cauchyn jonot voidaan vastaavalla tavalla määritellä missä tahansa metrisessä avaruudessa, mutta tällöin ne eivät välttämättä suppene. Metristä avaruutta sanotaan täydelliseksi, jos siinä kaikki Cauchyn jonot suppenevat eli niillä on raja-arvo. Näin on laita esimerkiksi reaalilukujen joukossa. Sitä vastoin rationaalilukujen joukko ei ole metrisenä avaruutena täydellinen, sillä rationaaliluvuista voidaan muodostaa Cauchyn jonoja, joilla ei ole raja-arvoa rationaalilukujen joukossa. Sellainen on esimerkiksi lukujen $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ jono, $n=1,2...$, jonka raja-arvo reaalilukujen joukossa on Neperin luku e.

Cauchyn jonon alkioille $(a_{1},a_{2},a_{3},...)$ pätee

$\lim _{\min(m,n)\rightarrow \infty }d(a_{m},a_{n})=0$,

missä $d$ on avaruuden annettu metriikka (alkioiden etäisyys).

Rationaaliluvuista koostuvien Cauchyn jonojen ekvivalenssiluokkiin perustuvan reaalilukujen määritelmän esittivät vuonna 1872 ranskalainen Charles Méray (1835−1911) ja saksalainen Karl Weierstrass (1815−1897) oppilaineen.

Cauchyn yleisen suppenemisehdon todistus

Oletetaan ensin lukujonon $(a_{n})$ suppenevan.

Olkoon $\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}=b}$ ja olkoon $\epsilon >0$. Koska $(a_{n})$ suppenee, niin on olemassa $n_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\}$ siten, että $|a_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}$, kun $n>n_{0}$. Kolmioepäyhtälön nojalla

$|a_{n}-a_{k}|=|a_{n}-b+b-a_{k}|$ $\leq |a_{n}-b|+|a_{k}-b|$ $<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon ,$

kun $n>n_{0}$ ja $k>n_{0}$.

Oletetaan sitten kaikilla $\epsilon >0$ olevan olemassa $n_{\epsilon }\in \mathbb {N} \cup \{0\}$ siten, että lukujonolla $(a_{n})$ pätee $|a_{n}-a_{k}|<\epsilon$, kun $n>n_{\epsilon }$ ja $k>n_{\epsilon }$.

Tällöin on olemassa $n_{1}\in \mathbb {N} \cup \{0\}$ siten, että $|a_{n}-a_{n_{1}+1}|<1$, kun $n>n_{1}$. Kolmioepäyhtälön nojalla

$|a_{n}|=|a_{n}-a_{n_{1}+1}+a_{n_{1}+1}|$ $\leq |a_{n}-a_{n_{1}+1}|+|a_{n_{1}+1}|$ $<1+|a_{n_{1}+1}|,$

kun $n>n_{1}$. Koska joukko $\{|a_{0}|,|a_{1}|,\dots ,|a_{n_{1}}|\}$ on äärellinen, niin sillä on olemassa maksimi $M=\max\{|a_{0}|,|a_{1}|,\dots ,|a_{n_{1}}|\}$. Täten

$|a_{n}|\leq \max\{M,1+|a_{n_{1}+1}|\}$

kaikilla $n\in \mathbb {N} \cup \{0\}$, joten $(a_{n})$ on rajoitettu.

Koska $(a_{n})$ on rajoitettu, niin sillä on Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla suppeneva osajono $(a_{n_{j}})$.

Olkoon $\epsilon >0$ ja olkoon $\displaystyle {\lim _{j\to \infty }{a_{n_{j}}}=b}$. On olemassa $j_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\}$ siten, että $|a_{n_{j}}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}$, kun $j>j_{0}$, koska $(a_{n_{j}})$ suppenee. Oletuksen nojalla on olemassa $n_{\epsilon }\in \mathbb {N} \cup \{0\}$ siten, että $|a_{n}-a_{k}|<{\frac {\epsilon }{2}}$, kun $n>n_{\epsilon }$ ja $k>n_{\epsilon }$. Valitaan $p=\max\{j_{0}+1,n_{\epsilon }+1\}$, jolloin $n_{p}>n_{n_{\epsilon }}\geq n_{\epsilon }$. Tällöin kolmioepäyhtälön nojalla

$|a_{n}-b|=|a_{n}-a_{n_{p}}+a_{n_{p}}-b|$ $\leq |a_{n}-a_{n_{p}}|+|a_{n_{p}}-b|$ $<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon ,$

kun $n>n_{\epsilon }$. Täten $\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}=b}$, joten $(a_{n})$ suppenee.

Siis osoitettiin lukujonon $(a_{n})$ suppenevan, jos ja vain jos kaikilla $\epsilon >0$ on olemassa $n_{\epsilon }\in \mathbb {N} \cup \{0\}$ siten, että $|a_{n}-a_{k}|<\epsilon$, kun $n>n_{\epsilon }$ ja $k>n_{\epsilon }$. $\square$

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.