Aristoteleen matematiikka

Aristoteleen matematiikan filosofia voidaan nähdä kaikkien eksaktien tai matemaattisten tieteiden filosofiana ja monella tavalla vastakkaisena platonismille. Matematiikan Aristoteles katsoi sijoittuvan metafysiikan ja fysiikan väliselle alueelle. Aristoteles itse hyödynsi matematiikkaa useilla eri tavoilla tutkielmissaan. Ensinnäkin hän kykeni hyödyntämään aikansa matemaatikkojen tekniikoita logiikassaan. Toiseksi hän käytti matemaattisia argumentteja joidenkin teorioidensa kuvaamiseen ja todistamiseen. Tämä pätee erityisesti fysiikan alan teorioihin.

Matematiikka Aristoteleen teoksissa

Kreikkalainen matematiikka kehittyi huomattavasti Aristotelesta edeltäneinä vuosina, ja hänen aikanaan, 400- ja 300-luvuilla eaa. kehitystä tapahtui erityisesti todistamisen, lukuteorian, verrannollisuuden ja erilaisten matemaattisten kappaleiden alueilla. Matematiikkaa alettiin myös hyödyntää muilla tieteenaloilla, kuten tähtitieteessä, mekaniikassa, optiikassa ja harmoniikassa. Samanaikaisesti matemaattisten käsitteiden kuvaaminen tutkielmissa kehittyi, kun kirjaimia alettiin käyttää kaavojen abstrahoinnissa.

Nykyisin ei täysin tiedetä, missä määrin Aristoteles vaikutti kehitykseen, ja missä määrin hänen tutkielmansa lähinnä heijastavat ajan ilmiöitä. Aristoteles kirjoitti matematiikasta erityisesti teoksissa Jakamattomista viivoista, joka käsittelee suureiden ääretöntä jaettavuutta osiin, ja Mekaniikan ongelmat, jossa ongelmia havainnollistetaan geometrian avulla. Tämän lisäksi Metafysiikka käsittelee matemaattisten luonnontieteiden perusteita ja erityisesti niiden ontologisia ongelmia yleisesti.

Aristoteleen mukaan matematiikka ja fysiikka käsittelevät samoja olioita, mutta eri tavalla — matematiikka abstrahoi aistittavien kappaleiden konkreettisia ominaisuuksia, ja käsittelee niitä ainoastaan kvantitatiivisesti. Matematiikalla universaaleja asioita voidaan tarkkailla ymmärryksen abstrahoivan kyvyn avulla. Matematiikka ei kuitenkaan voi nousta aineellisten asioiden yläpuolelle, tavoittelemaan todellista olemassaoloa. Se on rajoitettu tutkimaan materiaalisesti olemassa olevia asioita.

Kolmen teoreettisen tieteen, fysiikan, matematiikan ja metafysiikan, välinen työnjako oli Aristoteleen mukaan siis seuraava. Fysiikan tehtävänä on tutkia muodostavia prinsiippejä, asioita joilla on absoluuttinen olemassaolo, mutta ainoastaan silloin, kun ne ovat tulleet aineellisiksi, eivätkä näin ole liikkumattomia. Matematiikka puolestaan tutkii liikkumattomia ja levossa olevia asioita, koska sen määrittelyt ovat kiinteitä ja muuttamattomia, mutta ei kuitenkaan absoluuttisen liikkumattomia asioita, vaan ainoastaan sellaisia, jotka ovat yhteyksissä aineeseen. Metafysiikka puolestaan tutkii absoluuttisesti olemassa olevia asioita, jotka ovat ikuisia ja liikkumattomia. Näin matematiikka toimii fysiikan ja metafysiikan välisellä alueella.

Aristoteleen matemaattisia ongelmia

Aristoteles pyrki matemaattisia ontologisia ongelmia käsitellessään ennen kaikkea välttämään platonistista ideaoppia. Aristoteles oli Platonin kanssa yhtä mieltä siitä, että on olemassa ymmärrettäviä universaaleja olioita, jotka täyttävät tiettyjä Parmenideen määrittelemiä ehtoja, kuten muuttumattomuus ja ikuisuus. Aristoteles kuitenkin hylkäsi Platonin näkemyksen siitä, että näillä universaaleilla olisi itsenäinen olemassaolo varsinaisten kappaleiden ohella.

Ongelma kosketti myös matematiikkaa, koska matemaattisten olioiden tapauksessa tähän liittyy muutamia merkittäviä ongelmia. Ensiksi, jos matemaattiset oliot ovat myös fyysisiä olioita, silloin ne kohtaavat seuraavat ongelmat:

1. Tarkkuuden ongelma. Piirtämämme fyysiset suorat janat eivät ole suoria, ja niin fyysinen tangentti ei todellisuudessa kosketa ympyrää vain yhdessä pisteessä. Toisin sanoen, fyysisillä olioilla ei ole niitä matemaattisia ominaisuuksia, joita matematiikka tutkii.

2. Erotettavuuden ongelma. Fyysisiltä matemaattisilta olioilta puuttuu sellaisia ominaisuuksia, joita ymmärrettäviltä olioilta vaaditaan. Ne eivät ole erillisiä tai itsenäisiä suhteessa aineeseen. Siksi ne eivät voi olla ikuisia ja muuttumattomia.

Toiseksi, platonilaisiin ideoihin liittyi vielä kolmas ongelma:

3. Moneuden ongelma. Oletetaan, että jokaista kolmiota vastaisi yksi idea. Jokaista tietyntyyppistä kolmiota vastaisi silti vain yksi idea. Joku matemaattinen diagonaalisuutta käsittelevä teoria saattaisi vaatia, että on kaksi samanlaista kolmiota, jotka ovat kuitenkin erillisiä. Yleensäkin matemaattiset tieteet vaativat useita samantyyppisiä kappaleita.

Aristoteleen mukaan matemaattiset oliot ovat olemassa ainoastaan potentiaalisesti (dynamis) mielen abstrahoivan toiminnan kautta, eikä niillä näin ole itsenäistä, substantiaalista olemassaoloa.

Lähteet

• Aristoteles: Metafysiikka. ((Ta meta ta fysika.) Suomentaneet Tuija Jatakari, Kati Näätsaari, Petri Pohjanlehto. Selitykset laatinut Simo Knuuttila. Teokset 6) Helsinki: Gaudeamus, 1990. ISBN 951-662-492-8

Kirjallisuutta

• Cleary, John J.: Aristotle and mathematics: aporetic method in cosmology and metaphysics. (Philosophia antiqua: A series of studies on ancient philosophy, 67) Brill, 1995. ISBN 9004101594 Teoksen verkkoversio.

Aiheesta muualla

• Mendell, Henry: Aristotle and Mathematics The Stanford Encyclopedia of Philosophy. The Metaphysics Research Lab. Stanford University. (englanniksi)
• Mendell, Henry: Aristotle and Greek Mathematics The Stanford Encyclopedia of Philosophy. The Metaphysics Research Lab. Stanford University. (englanniksi)