Annihiloiva polynomi

Annihiloiva polynomi on annettuun neliömatriisiin liittyvä polynomifunktio, jolla on sellainen ominaisuus, että kun matriisi sijoitetaan polynomiin muuttujan paikalle, tulokseksi saadaan nollamatriisi. Luonnollisesti tässä polynomi ei saa olla nollapolynomi (siis nollan suuruinen vakio). Matemaattisesti ilmaistuna polynomi $p(x)$ on matriisin $A$ annihiloiva polynomi, jos ja vain jos

$p(A)=O\,$,

missä $O$ on siis nollamatriisi. Matriisi on siis annihiloivan polynominsa nollakohta. Cayleyn–Hamiltonin lauseen nojalla jokaisella neliömatriisilla on ainakin yksi annihiloiva polynomi, nimittäin kyseisen matriisin karakteristinen polynomi. Annihiloivia polynomeja voi olla kuitenkin myös muita.

Minimaalipolynomi

Erityisen tärkeä annihiloiva polynomi on alimmanasteinen pääpolynomi, joka toimii matriisin annihiloivana polynomina. Voidaan osoittaa, että tämä polynomi on annetulle matriisille yksikäsitteinen ja se tunnetaan matriisin minimaalipolynomina. Minimaalipolynomi on tärkeä, sillä siitä on luettavissa suoraan monia vastaavan matriisin ominaisuuksia.

Minimaalipolynomiin liittyviä ominaisuuksia

• Keskenään similaareilla matriiseilla on sama minimaalipolynomi.
• Matriisi on diagonalisoituva jos ja vain jos sen minimaalipolynomin kaikki nollakohdat ovat erisuuria.
• Jos n×n-matriisin $A$ kaikki $n$ ominaisarvoa ovat erisuuria, sen minimaalipolynomilla $\psi _{A}$ ja karakteristisella polynomilla $c_{A}$ on yhteys

$c_{A}(x)=(-1)^{n}\psi _{A}(x)\,$.

Tämä tulos myös yleistyy: minimaalipolynomi on aina jokin karakteristisen polynomin tekijä.

Minimaalipolynomin avulla voidaan tutkia myös mm. matriisin Jordanin normaalimuotoa tai komponenttimatriiseja.

Katso myös

• Matriisipolynomi