Diagonalisoituva matriisi

Lineaarialgebrassa n×n-neliömatriisia A sanotaan diagonalisoituvaksi jos se on similaarinen jonkin diagonaalimatriisin D kanssa, eli on olemassa kääntyvä matriisi P siten, että

$D=P^{-1}AP\,$.

Vastaavasti jos V on äärellisulotteinen vektoriavaruus, lineaarioperaattoria T : V → V sanotaan diagonalisoituvaksi, jos on olemassa V:n kanta, missä T on diagonaalimatriisi. Diagonalisoituvat matriisit ja -kuvaukset ovat käyttökelpoisia, sillä niitä on helppo käsitellä: niiden ominaisarvot ja ominaisvektorit on helppo laskea ja diagonalisen matriisin potenssi saadaan korottamalla lävistäjäalkiot annettuun potenssiin. Diagonalisointi on prosessi, jossa diagonaalimatriisi tai -lineaarikuvaus etsitään.

Perusominaisuudet

Diagonalisoituvien matriisien ja -lineaarikuvausten päätulos on seuraava.

1. n×n matriisi A, jonka alkiot ovat kunnasta F, on diagonalisoituva jos ja vain jos sen ominaisavaruuksien dimensioiden summa on yhtä suuri kuin n. Tämä lause on yhtäpitävä sen kanssa, että on olemassa Fⁿ:n kanta, joka koostuu A:n ominaisvektoreista. Jos tällainen kanta löydetään, voidaan muodostaa matriisi P, jonka sarakkeina nämä vektorit ovat, ja P ^-1AP on diagonaalimatriisi. Tämän matriisin lävistäjäalkiot ovat A:n ominaisarvot.

1. Lineaarikuvaus T : V → V on diagonalisoituva jos ja vain jos sen ominaisavaruuksien dimensioiden summa on dim(V), joka puolestaan tapahtuu silloin ja vain silloin, kun on olemassa V:n kanta, joka sisältää T:n ominaisvektorit. Tällöin T on diagonalisoituva ja sen lävistäjäalkiot ovat T:n ominaisvektorit

Vaihtoehtoisesti voidaan sanoa, että matriisi tai lineaarikuvaus on diagonalisoituva kunnassa F jos ja vain jos sen minimaalipolynomi on tulo F:n erillisistä lineaarisista tekijöistä. Seuraava riittävä, mutta ei välttämätön ehto on usein hyödyllinen:

• Kunnan F n×n-matriisi A on diagonalisoituva jos sillä on n erillistä ominaisarvoa F:ssä, eli sen karakteristisella polynomilla on n erillistä nollakohtaa F:ssä

Nyrkkisääntönä, melkein kaikki kompleksikertoimiset matriisit ovat diagonalisoituvia. Tarkemmin sanottuna kompleksiset n×n matriisit, jotka eivät ole diagonalisoituvia, muodostavat nollajoukon Lebesguen mitan suhteen. Voidaan myös sanoa, että diagonalisoituvat matriisit muodostavat tiheän osajoukon Zariski-topologian suhteen. Tämän avaruuden komplementti sijaitsee siinä joukossa, missä diskriminantin karakteristinen polynomi häviää. Tämä avaruus on hyperpinta.

Sama ei päde $\mathbb {R}$:ssä: kun n kasvaa, todennäköisyys, että satunnaisesti valittu reaalimatriisi on diagonalisoituva pienenee!

Diagonalisoituvuuden erikoistapauksia

Matriisin diagonalisoituvuudelle on olemassa muutamia erityistapauksia diagonalisoivan matriisin erityisluonteen mukaan. Nämä erikoistapaukset koskettavat vain pientä osaa matriiseista ja viittaavat yleensä alkuperäisen matriisin omaavan joitakin erityisominaisuuksia.

Ortogonaalinen diagonalisoituvuus

Matriisi $A$ on ortogonaalisesti diagonalisoituva, jos on olemassa sellainen ortogonaalimatriisi $Q$, että

$D=Q^{T}AQ\,$,

missä $Q^{T}$ on $Q$:n transpoosi.

Unitaarinen diagonalisoituvuus

Matriisi $A$ on unitaarisesti diagonalisoituva, mikäli on olemassa sellainen unitaarimatriisi $U$, että

$D=U^{*}AU\,$,

missä $U^{*}$ on $U$:n adjungaatti.

Katso myös

• Similaarisuus
• Kolmiomatriisi

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).