Äärettömyys

Äärettömän symboli ∞ eri fonteilla.

Ääretön on kaikkea laskettavissa tai mitattavissa olevaa suurempi. Käsitteellä on matematiikassa, filosofiassa ja teologiassa hiukan eri merkityksiä, joille yhteistä on ajatus jonkinlaisesta rajattomuudesta tai päättymättömyydestä.

Suomen kielen sana ääretön on johdettu sanasta ääri ('raja') ja tarkoittaa siten sananmukaisesti rajatonta. Matematiikassa sanojen ääretön ja rajaton merkitykset ovat kuitenkin eriytyneet.

Analyysin ääretön

Analyysissä äärettömällä voidaan tarkoittaa lukua, joka on kaikkia reaalilukuja suurempi. Sitä merkitään symbolilla ∞. Tämä luku ei siis kuulu reaalilukujen joukkoon. Voidaan määritellä laajennettu reaalilukujoukko, johon kuuluvat reaaliluvut, positiivinen ääretön ∞ ja negatiivinen ääretön −∞. Tässä laajennetussa joukossa eivät kuitenkaan päde kaikki reaalilukujen tavalliset laskusäännöt.

Tavallisessa reaalilukujen joukossa voidaan sanoa, että jollakin funktiolla on ääretön raja-arvo pisteessä x, jos funktion arvo kasvaa rajatta pistettä x lähestyttäessä.

Kompleksianalyysissä käytetään laajennettua kompleksitasoa, jossa kompleksilukujen joukkoon on lisätty yksi ääretön ∞.

Joukko-opillinen ääretön

Joukkoa kutsutaan äärettömäksi, jos se sisältää rajattoman määrän eri alkioita. Vastakohtana on äärellinen joukko, jonka alkioiden määrä on jokin kokonaisluku. Esimerkkejä äärettömistä joukoista ovat luonnollisten lukujen muodostama joukko N ja reaalilukujen joukko R.

Äärettömät ja äärelliset joukot voidaan erottaa käyttäen mahtavuuden käsitettä. Kaksi joukkoa ovat yhtä mahtavat, jos niiden alkiot voidaan järjestää pareittain toisiaan vastaaviksi bijektiolla. Esimerkiksi joukot {1,2,3} ja {2,5,3} ovat yhtä mahtavat, koska niiden alkioiden välille voidaan määritellä vastaavuus: 1→2, 2→5 ja 3→3. Joukko on ääretön, jos se on yhtä mahtava jonkin aidon osajoukkonsa kanssa. Muuten se on äärellinen.

Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko {0,1,2,3,...} on tämän määritelmän mukaan ääretön, koska se on yhtä mahtava aidon osajoukkonsa parilliset luonnolliset luvut {0,2,4,6,...} kanssa. Niiden alkiot voidaan asettaa toisiaan pareittain vastaaviksi: 0→0, 1→2, 2→4, 3→6 jne.

Kaikki äärettömät joukotkaan eivät ole yhtä mahtavia, vaan niiden mahtavuuksia voidaan vertailla. Ehkä hiukan yllättäen rationaalilukujen joukko on yhtä mahtava kuin luonnollisten lukujen joukko. Sen sijaan reaalilukujen joukko on niitä mahtavampi; sen alkioita ei voi asettaa pareittain luonnollisten lukujen kanssa, vaan reaalilukuja jää väistämättä "yli". Tämä voidaan todistaa Cantorin diagonaaliargumentilla.

Joukot, jotka ovat yhtä mahtavia luonnollisten lukujen joukon kanssa, ovat numeroituvasti äärettömiä. Sitä mahtavammat ovat ylinumeroituvia. Niitäkin on erikokoisia: esimerkiksi minkä tahansa joukon X potenssijoukko on joukkoa X mahtavampi.

Muuta

Ääretön määrä objekteja ei välttämättä vaadi ääretöntä tilaa. Janalla on esimerkiksi ääretön määrä pisteitä, mutta itse jana on äärellisen pituinen. Voidaan myös muodostaa käyrä, jonka ala on äärellinen, mutta pituus ääretön. Tällainen käyrä on esimerkiksi Kochin käyrä.

Katso myös

• Ikuisuus
• Singulariteetti
• Ääretön regressio
• Funktion epäoleellinen raja-arvo

Lähteet

• Pappas, Theoni: Lisää matematiikan iloja. (Alkuteos: More Joy of Mathematics. Exploring Mathematics All Around You) Suomentanut Juha Pietiläinen. Helsinki: Terra Cognita, 1991. ISBN 952-5202-46-1

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Äärettömyys Wikimedia Commonsissa

Kirjallisuutta

• Rucker, Rudy: Mieli ja äärettömyys: Äärettömyyden tiedettä ja filosofiaa. ((Alkuteos: Infinity and the mind: The Science and Philosophy of the Infinite, 1982.) Suomentanut Markus Hotakainen) Helsinki: Art House, 1998. ISBN 951-884-222-1
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).
• Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0070379866