Singulariteetti (matematiikka)

Singulariteetti on matematiikassa, erityisesti reaali- ja kompleksianalyysissä, piste, jossa matemaattinen objekti ei ole määritelty. `f(x) = 1/x` ei ole esimerkiksi hyvin-määritelty, kun `x = 0`. Kyseisessä pisteessä funktion arvoa ei ole määritelty. Toisin sanottuna nollan käänteisalkiota ei ole määritelty.

Singulariteetti kompleksianalyysissä

Kompleksianalyysissä singulariteetti esiintyy neljässä eri tilanteessa. Olkoon U kompleksilukujen avoin osajoukko ja piste `a` kuuluu joukkoon U siten, että funktio f on jatkuva ja differentioituva jossakin `a`:n ympäristössä pois sulkien itse a eli joukossa U \ {a}.

Eristetyt singulariteetit

Olkoon funktio f ei-jatkuva pisteessä a. Piste`a` on funktion `f` poistettava singulariteetti, jos on olemassa holomorfinen funktio g, joka on määritelty joukossa U siten, että f(z) = g(z) kaikilla z joukossa U\{a}. Funktio `f` korvataan jatkuvalla funktiolla `g`.

Edellistä pistettä kutsutaan navaksi, jos on olemassa holomorphinen funktio `g` joukossa U ja luonnollinen luku `n` siten, että f(z) = g(z) / (z -a) kaikilla z joukossa U \ {a}. Derivaatta ei ole mahdollisesti olemassa kyseisessä pisteessä. Jos g(a) on erisuuri kuin nolla, niin navan astetta merkitään n:llä. Aste on polkujen lukumäärä navan ympäri. Esimerkiksi ympyränmuotoisen polun aste pisteen `a` ympäri on yksi. Edellistä singulariteettia kutsutaan epäoleelliseksi singulariteetiksi.

Singulariteetti on oleellinen, jos ja vain jos funktion Laurentin sarjalla pisteen ympäristössä on äärettömän monta potenssia, joiden aste on negatiivinen. Toisin sanottuna tämä funktion piste ei ole poistettava piste eikä napa.

Sivuhaarojen pisteet

Sivuhaarojen pisteet ovat moniarvoisten funktioiden tulos, toisin kuin eristetyt singulariteetit. Esimerkiksi log(z) on määritelty joillakin rajoilla siten, että funktio voidaan tehdä vakiofunktioksi lähtöjoukossa^selvennä. Kompleksianalyysissä asetetaan usein analyyttisyysraja, jotta voidaan erottaa funktion ei-jatkuvat pisteet. Funktio saa tämän rajan ympärillä eri arvoja. Analyyttisyysrajan sijainnilla ja muodolla yksikkökiekossa ei ole yleensä merkitystä.

Lähteet

• TKK: L3 Matematiikka
• Rudin, Walter: Real and Complex Analysis.