Ympäristökanta

Ympäristökanta on topologiassa sellainen kokoelma annetun pisteen ympäristöjä, että jokainen kyseisen pisteen ympäristö sisältää osajoukkonaan jonkin ympäristökantaan kuuluvan joukon. Toisin sanoen, jos X on topologinen avaruus ja $a\in X$ jokin sen piste, kokoelma $\mathbb {B}$ on a:n ympäristökanta, jos jokainen a:n ympäristö sisältää jonkin $\mathbb {B}$:n jäsenen.

Esimerkkejä

Jos $\mathbb {B}$ on avaruuden X kanta ja jos $a\in X$, niin kaikki avaruuden kantaan kuuluvat joukot, joihin piste a sisältyy, muodostavat a:n erään ympäristökannan.

Jos X on metrinen avaruus, pisteen a erään ympäristön muodostavat avoimet pallot B(a,r), r > 0 eli joukot ${x\in X|d(a,x)<r}$. Toisen, suppeamman ympäristökannan muodostavat ne a-keskiset avoimet pallot, joiden säde on muotoa 1/n, missä n on kokonaisluku.

N1-avaruudet

Jos topologisen avaruuden jokaisella pisteellä on numeroituva ympäristökanta, avaruutta sanotaan N₁-avaruudeksi. Muun muassa kaikki metristyvät avaruudet ovat N1-avaruuksia.

Historiaa

Hausdorffin vuonna 1914 esittämä topologisen avaruuden määritelmä perustui ympäristökannan, ei avoimen joukon käsitteeseen. (Itse asiassa hänen määritelmänsä edellytti nykyisestä poiketen myös, että millä tahansa kahdella avaruuden pisteellä piti olla erilliset ympäristöt. Nykyisessä topologisen avaruuden määritelmässä tätä ei välttämättä edellytetä, mutta monet tärkeimmät avaruudet toteuttavat myös sen, ja niitä sanotaan Hausdorff-avaruuksiksi.)