Toisen asteen polynomifunktio

Kvadraattisen funktion $f(x)=x^{2}-x-2\,\!$ kuvaaja on nimeltään paraabeli. Funktion nollakohdat ovat -1 ja +2 ja terävyys a = 1, joten sen lauseke voidaan esittää myös $f(x)=(x+1)(x-2)\,\!$.

Toisen asteen polynomi eli kvadraattinen funktio on matematiikassa polynomifunktio, jonka asteluku on 2. Se on yleinen yhden muuttujan funktio, joka voidaan esittää muodossa

$f(x)=ax^{2}+bx+c\qquad a,b,c\in \mathbb {R} ,\,a\neq 0$

missä a, b ja c ovat reaalilukukertoimia. Funktion kuvaajan muoto on paraabeli. Kvadraattisia funktioita voidaan määritellä myös moniulotteisessa avaruudessa, jolloin sen ominaisuudet muuttuvat. Kvadraattisia funktioita käytetään matemaattisessa mallinnuksessa talouden, tieteen ja tekniikan aloilla.

Funktion kuvaaja

Huippu, symmetria-akseli ja kyljet

Kaikki toisen asteen polynomifunktion kuvaajat ovat paraabeleja. Paraabelilla on aina huippu, joka sijaitsee symmetria-akselilla. Huipusta lähtien kuvaajan vasenta ja oikeaa puoliskoa kutsutaan paraabelin kyljeksi. Paraabelin kuvaaja on symmetria-akselin suhteen oma peilikuvansa eli vasen ja oikea kylki sijaitsevat yhtä kaukana akselista. Kyljet kaartuvat akseliin päin, mutta etääntyvät akselista kuitenkin loputtomasti. Tämä tarkoittaa sitä, että funktio on määritelty kaikille reaaliluvuille.

Paraabelin huippu sijaitsee kohdassa $x_{h}={\frac {-b}{2a}}$. Funktio saa tässä kohtaa $x_{h}$ arvon $f(x_{h})=c-{\frac {b^{2}}{4a}}$. Se on funktion ääriarvona joko sen maksimikohta, kun a < 0, tai sen minimikohta, kun a > 0.

Symmetria-akselin analyyttinen yhtälö on $x={\frac {-b}{2a}}$, joka on pystysuora.

Parametrien vaikutukset funktion kuvaajaan

Parametri a määrää funktion kuvaajan terävyyden ja aukeamissuunnan. Kun kerroin a on positiivien reaaliluku, aukeaa paraabeli ylöspäin. Kun a on negatiivinen, aukeaa se alaspäin. On huomattava, ettei a voi olla 0, koska funktio ei silloin ole toista astetta.

Parametri b vaikuttaa paraabelin sijaintiin koordinaatistossa sekä sivu- että pystysuunnassa, mutta ei vaikuta paraabelin terävyyteen tai muulla tavalla sen muotoon. Eri b:n arvoilla paraabelin toinen kylki kulkee origon kautta ja huippu sijaitsee koordinaatistossa käyrällä $y=c-{\frac {1}{4a}}x^{2}$.

Kun parametri c eli vakiotermi kasvaa, sijoittuu paraabelin kuvaaja koordinaatistossa ylemmäksi. Vakion c pienentyessä vajoaa kuvaaja alaspäin.

xxx

xxx

Erikoistapaukset

Toisen asteen polynomifunktiolla $f(x)=ax^{2}+bx+c$ on kolme erikoistapausta riippuen sen parametrien arvoista.

• Kun a ≠ 0 ja b = 0 ja c = 0, saadaan $f(x)=ax^{2}$. Tätä kutsutaan toisen asteen potenssifunktioksi. Tämän funktion kuvaaja kulkee origon kautta. Jos a = 1, on kuvaaja paraabeli $y=x^{2}$.

• Kun a ≠ 0 ja b = 0 ja c ≠ 0, saadaan $f(x)=ax^{2}+c$. Tämän funktion kuvaaja kulkee symmetrisesti siten, että y-akseli jakaa kuvaajan kahteen peilikuvamaiseen puoliskoon.

• Kun a ≠ 0 ja b ≠ 0 ja c = 0, saadaan $f(x)=ax^{2}+bx$. Tämän funktion kuvaaja kulkee aina origon kautta, mutta ei ole sijoittunut minkään akselin suhteen symmetrisesti.

Funktion yleisiä ominaisuuksia

Nollakohdat

Toisen asteen polynomifunktion nollakohdat saadaan toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisuista. Ne voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä tai soveltamalla toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa.

Funktion lausekkeen esitystapoja

Toisen asteen polynomifunktion lauseke voidaan esittää kolmessa eri muodossa.

• Yleinen muoto: $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$
• Yhtälössä tekijät näkyvissä: $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\,\!$, jossa $x_{1}$ ja $x_{2}$ ovat funktion nollakohdat.
• Yhtälössä näkyvät huipun koordinaatit: $f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!$, jossa kuvaajan huipun koordinaatit ovat (h,k).

Parillinen funktio

Toisen asteen polynomifunktio on parillinen funktio, kun kerroin b = 0 eli $f(x)=ax^{2}+c$. Silloin funktio saa saman arvon vastalukujensa s ja -s kohdissa eli $f(s)=f(-s)$, koska $f(\pm s)=a(\pm s)^{2}+c=as^{2}+c$.

Monotonisuus

Toisen asteen funktio ei ole monotoninen määrittelyjoukossaan. Sen sijaan, jos määrittelyjoukosta valitaan väli, johon ei sisälly funktion kuvaajan huipun kohta $x_{h}$, on funktio tällä välillä monotoninen.

Käänteisfunktio

Toisen asteen funktiolla ei ole käänteisfunktiota, koska se ei ole monotoninen. Jos funktion määrittelyjoukkoa rajoittaa sellaiselle välille, jossa funktio on monotoninen, voidaan käänteisfunktion lauseke muodostaa.

Yksinkertaisimman toisen asteen potenssifunktion $f(x)=x^{2}$ käänteisfunktio on neliöjuurifunktio. Jos valitaan väli positiivisista reaalilukujen joukosta, saadaan käänteisfunktioksi $f^{-1}(x)={\sqrt {x}}$. Jos valitaan väli negatiivisista luvuista, tulee käänteisfunktioksi $f^{-1}(x)=-{\sqrt {x}}$. Muutkin kvadraattisen funktion käänteisfunktiot sisältävät neliöjuurifunktion.

Derivaatta ja integraali

Toisen asteen polynomifunktion derivaattafunktio on $f'(x)=2ax+b$. Derivaattafunktion nollakohta on aina samassa kohtaa kuvaajan huipun kanssa. Funktion toinen derivaatta on $f''(x)=2a$ ja kolmas derivaatta $f'''(x)=0$.

Sen integraalifunktio on $F(x)={\frac {1}{3}}ax^{3}+{\frac {1}{2}}bx^{2}+cx+C$, missä C on integraalivakio.

Funktion määrätty integraali

$I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

voidaan laskea myös Simpsonin säännöllä tarkasti:

$I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{3}}\left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)$

Kvadraattinen muoto usean muuttujan tapauksissa

Kahden muuttujan kvadraattinen funktio

Kun funktio on määritelty $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$

$f(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F\,\!$,

on kyseessä kahden muuttujan toisen asteen polynomifunktio. Tämän tapaisia funktioita käytetään kenttäteoriassa ja niiden kuvaajat ovat kaarevia pintoja kolmiulotteisessa avaruudessa eli tilassa. Asettamalla funktio $f(x,y)\,\!$ nollaksi, saadaan pinnan ja vaakatason $z=0$ leikkauskuvio, joita kutsutaan toisen asteen käyriksi. Toinen yleinen nimitys näille on kartioleikkaus.

Lähteet

• Hughes-Hallett, Deborah; Connally, Eric; McCallum, William G.: College Algebra. Määritä julkaisija!

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

• Wolfram Mathworld: Sana kvadraattinen (englanniksi)
• Aalto-yliopisto, Systeemianalyysin laboratorio: Luento 8: Epälineaarinen optimointi^{[vanhentunut linkki]}