Tekijäavaruus (lineaarialgebra)

Tekijäavaruus lineaarialgebrassa on suppeampi vektoriavaruus, joka saadaan "kutistamalla" jossakin vektoriavaruudessa V jokin sen aliavaruus N nollaksi. Vektoriavaruuden V tekijäavaruus aliavaruuden N suhteen eli modulo N merkitään V/N.

Muodollinen määritelmä

Muodollisesti tekijäavaruus konstruoidaan seuraavasti.

Olkoon V vektoriavaruus, jonka kerroinkunta on K, ja olkoon N jokin V:n aliavaruus]. Määritellään V:ssä ekvivalenssirelaatio ~ siten, että x ~ y, jos ja vain jos x − y ∈ N. Toisin sanoen alkiot x ja y ovat ekvivalentteja, jos toinen niistä voidaan saada lisäämällä toiseen jokin N:n alkio. Tästä määritelmästä voidaan päätellä, että jokainen N:n alkio on ekvivalentti nollavektorin kanssa; täsmällisemmin sanottuna kaikki N:ään kuuluvat vektorit kuvautuvat nollavektorin ekvivalenssiluokkaan.

Sille ekvivalenssiluokalle, johon alkio x kuuluu, käytetään usein merkintää

[x] = x + N

sillä sen määrittää joukko

[x] = {x + n : n ∈ N}.

Tekijäavaruus V/N eli V/~ (V modulo N) määritellään tällöin kaikkien ekvivalenssirelaation ~ avaruudessa V määrittelemien ekvivalenssiluokkien joukoksi. Näiden ekvivalenssiluokkien eli tekijäavaruuden alkioiden yhteenlasku ja skalaarilla kertominen määritellään tällöin seuraavasti:*

• α[x] = [αx] for all α ∈ K, and
• [x] + [y] = [x+y].

Helposti voidaan osoittaa, että nämä laskutoimitukset ovat hyvin määriteltyjä, toisin sanoen ne eivät riipu siitä, mikä alkio valitaan edustamaan ekvivalenssiluokkaa. Näillä laskutoimituksilla varustettuna tekijäavaruus V/N on K:n vektoriavaruus, jossa N on nollaluokka, [0].

Kuvausta, joka liittää alkioon v ∈ V sitä vastaavan ekvivalenssiluokan [v] sanotaan ekvivalenssikuvaukseksi.

Esimerkkejä

Olkoon $X=\mathbb {R} ^{2}$ tavanomainen karteesinen taso ja olkoon Y origon kautta kulkeva suora X:ssä. Silloin tekijäavaruus X/Y voidaan samastaa tasossa X olevien Y:n suuntaisten suorien muodostaman avaruuden kanssa. Toisin sanoen joukon X/Y alkioita ovat Y:n suuntaiset suorat tasossa X. Tämä tarjoaa tavan visualisoida tekijäavaruuksia geometrisesti.

Toinen esimerkki on avaruuden $\mathbb {R} ^{n}$ tekijäavaruus sen aliavaruuden suhteen, jonka muodostavat m ensimmäistä standardia kantavektoria. Avaruuteen $\mathbb {R} ^{n}$ kuuluvat kaikki järjestetyt n reaaliluvun jonot (x₁,…,x_n). Mainitun aliavaruuden, joka voidaan samastaa $\mathbb {R} ^{m}$:n kanssa, muodostavat sellaiset n reaaliluvun järjestetyt jonot, joissa viimeiset n−m lukua ovat nollia: Kaksi $\mathbb {R}$:n vektoria kuuluvat tämän kongruenssiluokkaan modulo tämä aliavaruus, jos ja vain jos niiden viimeiset n−m koordinaattia ovat samat. Tekijäavaruus $\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {R} ^{m}$ on ilmeisellä tavalla isomorfinen avaruuden $\mathbb {R} ^{n-m}$ kanssa.

Yleensäkin jos V on aliavaruuksien U ja W (sisäinen) suora summa eli

$V=U\oplus W$

niin tekijäavaruus V/U on isomorfinen W:n kanssa.

Funktioavaruuksien tärkeitä tekijäavaruuksia ovat L^p-avaruudet.

Ominaisuuksia

Avaruudesta V tekijäavaruuteen V/U on olemassa luonnollinen epimorfismi, joka saadaan kuvaamalla jokainen $x\in V$ sitä vastaavalle ekvivalenssiluokalle [x]. Tämän epimorfismin ydin on aliavaruus U.

Jos U on V:n aliavaruus, tekijäavaruuden V/U dimensiota sanotaan U:n kodimensioksi V:ss'. Koska V:n kanta voidaan muodostaa U:n kannasta A ja V/U:n kannasta B lisäämällä A:han jokaisen B:n alkion edustaja, V:n dimensio on avaruuksien U ja V/U dimensioiden summa. Jos V on äärellisulotteinen, U:n kodimensio V:ss' on Vn ja U:n dimensioiden erotus:

$\mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U).$

Olkoon T : V → W lineaarikuvaus. T:n ydin (kernel), jolle käytetään merkintää ker(T) on niiden alkioiden x ∈ V joukko, joilla Tx = 0. Ydin on V:n aliavaruus. Lineaarialgebran ensimmäisen isomorfialauseen mukaan tekijäavaruus V/ker(T) on isomorginen V:n kuva-avaruuden kanssa, joka on W:n aliavaruus. Äärellisulotteisten avaruuksien tapauksessa tästä seuraa myös, että V:n dimensio on sama kuin T:n ytimen kuva-avaruuden dimensioiden summa:

$\dim(\mathrm {Ker} (T))+\dim(\mathrm {Im} (T))=\dim(V)$

Tekijäavaruutta W/im(T) sanotaan lineaarikuvauksen T : V → W kokerneliksi.

Banachin avaruuden tekijäavaruus aliavaruuden suhteen

Jos X on Banachin avaruus ja M sen suljettu osajoukko, myös tekijäavaruus X/M on Banachin avaruus. Tekijäavaruudelle saadaan valmiiksi myös vektoriavaruuden rakenne edellä selitetyllä menettelyllä. Avaruudessa X/M määritellään normi seuraavasti:

$\|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}.$

Tekijäavaruus X/M on täydellinen normin suhteen, joten se on Banachin avaruus.

Esimerkkejä

Olkoon C[0,1] välillä [0,1] määriteltyjen jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden muodostama Banach-avaruus, jolla on supremumnormi. Muodostetaan sille aliavaruus M, johon kuuluvat ne funktiot f ∈ C[0,1], joilla f(0) = 0. Tällöin ekvivalenssiluokan, johon annettu funktio g kuuluu, määrittää funktion arvo 0:ssa, ja tekijäavaruus C[0,1] / M on isomorfinen $\mathbb {R}$:n kanssa.

Jos X on Hilbertin avaruus, tekijäavaruus X/M on isomorfinen M:n ortogonaalisen komplementin kanssa.

Lähteet

• Paul Halmos: Finite dimensional vector spaces. (Lause 22.1.) Springer, 1974. ISBN 978-0-387-90093-3