Subharmoninen funktio

Subharmoniset funktiot ovat matematiikassa tärkeä funktioiden luokka, jota käytetään varsinkin osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa, kompleksianalyysissa ja potentiaaliteoriassa. Subharmoniset funktiot ovat kahden tai useamman reaalimuuttujan taikka yhden tai useamman kompleksimuuttujan reaaliarvoisia funktioita.

Intuitiivisesti subharmoniset funktiot ovat verrattavissa yhden muuttujan konvekseihin funktioihin, joiden kuvaaja on alaspäin kupera. Jos konveksin funktion kuvaaja leikkaa jonkin suoran kahdessa pisteessä, sen kuvaaja on näiden pisteiden välillä kyseisen suoran alapuolella. Samaan tapaan, jos subharmonisen funktion arvot jonkin pallon pinnalla ovat enintään yhtä suuret kuin jonkin harmonisen funktion arvot samalla pallopinnalla, subharmonisen funktion arvot pallon sisälläkin ovat enintään yhtä suuret kuin kyseisen harmonisen funktion.

Vastaavalla tavalla määritellään superharmoniset funktiot; määritelmässä vain korvataan sana "enintään" (tai "pienempi tai yhtä kuin") sanalla "vähintään" (tai "suurempi tai yhtä kuin"). Vaihtoehtoisesti superharmoniset funktiot voidaan määritellä niinkin, että sellaisen arvo on kaikkialla jonkin subharmonisen funktion arvon vastaluku, ja tästä syystä jokaista subharmonisten funktioiden yleistä ominaisuutta vastaa ilmeisellä tavalla jokin superharmonisten funktioiden yleinen ominaisuus.

Muodollinen määritelmä

Muodollisesti subharmoniset funktiot määritellään seuraavasti. Olkoon $G$ jokin euklidisen avaruuden ${\mathbb {R} }^{n}$ osajoukko ja olkoon

$\varphi \colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}$

ylhäältä toispuolisesti jatkuva funktio. Tällöin funktiota $\varphi$ sanotaan subharmoniseksi, jos jokaisessa suljetussa pallossa ${\overline {B(x,r)}}$, jonka keskipiste on $x$ ja säde $r$ ja joka kokonaan sisältyy joukkoon $G$, jokaiselle pallossa ${\overline {B(x,r)}}$ määritellylle reaaliarvoiselle jatkuvalle ja harmoniselle funktiolle, joka toteuttaa epäyhtälön $\varphi (y)\leq h(y)$ kaikilla pallon pinnan $\partial B(x,r)$ pisteillä $y$, pätee $\varphi (y)\leq h(y)$ kaikilla $y\in B(x,r).$

Edellä olevan määritelmän mukaan myös funktio, jonka arvo on kaikkialla −∞, on subharmoninen, mutta toisinaan määritelmää rajoitetaan niin, että tämä funktio suljetaan käsitteen ulkopuolelle.

Funktiota $u$ sanotaan superharmoniseksi, jos $-u$ on subharmoninen.

Ominaisuuksia

• Funktio on harmoninen, jos ja vain jos se on sekä subharmoninen että superharmoninen.
• Jos $\phi \,$ on C² (kahdesti jatkuvasti differentioituva) funktio avoimessa joukossa $G\subset {\mathbb {R} }^{n}$, niin $\phi \,$ on subharmoninen, jos ja vain jos epäyhtälö $\Delta \phi \geq 0$ pätee koko $G$:ssä, kun $\Delta$ on Laplacen operaattori.
• Subharmonisella funktiolla ei voi olla suurinta arvoa sen alueen sisällä, jossa se on määritelty, ellei se ole vakio. Tätä sanotaan maksimiperiaatteeksi. Subharmonisella funktiolla voi kuitenkin olla pienin arvo alueen sisällä.
• Subharmoniset funktiot muodostavat konveksin kartion, toisin sanoen subharmonisten funktioiden lineaarikombinaatio, kun kertoimet ovat positiivisia, on myös subharmoninen.
• Funktio, jonka arvo jokaisessa pisteessä on sama kuin suurempi kahden subharmonisen funktion arvoista kyseisessä pisteessä, on subharmoninen.
• Subharmonisten funktioiden muodostavan laskevan jonon raja-arvo on subharmoninen funktio (tai identtisesti $-\infty$).

Subharmoniset funktiot kompleksitasossa

Subharmonisilla funktioilla on erityisen suuri merkitys kompleksianalyysissä, jossa ne liittyvät läheisesti holomorfisiin funktioihin.

Kompleksiluku x + yi voidaan käsittää reaalilukupariksi (x,y) ja sen mukaisesti jokainen kompleksimuuttujan funktio kahden reaalimuuttujan funktioksi. Näin ollen edellä esitettyjä subharmonisen ja superharmonisen funktion määritelmiä voidaan soveltaa myös kompleksimuuttujien reaaliarvoisiin funktioihin. Voidaan osoittaa, että kompleksimuuttujan funktio, joka on määritelty alueella $G\subset \mathbb {C}$, on subharmoninen, jos ja vain jos jokaiselle suljetulle kiekolle $D(z,r)\subset G$, jonka keskipiste on $z$ ja säde $r$ pätee

$\varphi (z)\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\varphi (z+r\mathrm {e} ^{i\theta })\,d\theta .$

Tätä tulosta käytetään toisinaan kompleksitason subharmonisen funktion määritelmänäkin. Intuitiivisesti tämä merkitsee, että subharmonisen funktion ei missään pisteessä ole suurempi kuin sen arvojen keskipiste kyseistä pistettä ympäröivän ympyrän kehällä. Tätä seikkaa voidaan käyttää sen todistamiseen, että maksimiperiaate pätee subharmonisille funktioille.

Jos $f$ on holomorfinen funktio, niin

$\varphi (z)=\log \left|f(z)\right|$

on subharmoninen funktio, kun määritellään, että $\varphi (z)$:n arvo $f$:n nollakohdissa on −∞. Tästä seuraa, että

$\psi _{\alpha }(z)=\left|f(z)\right|^{\alpha }$

on subharmoninen jokaisella arvolla α > 0. Tällä tuloksella on huomattava merkitys Hardyn avaruuksien teoriassa, etenkin avaruuden H^p kannalta, kun 0 < p < 1.

Kompleksitason tapauksessa subharmonisten funktioiden yhteys konvekseihin funktioihin on helposti todettavissa samoin kuin tulos, jonka mukaan subharmoninen funktio $f$, joka alueessa $G\subset \mathbb {C}$ on vakio imaginaariakselin suunnassa, on konveksi reaaliakselin suuntaisessa ja päinvastoin.

Subharmonisten funktioiden harmoniset majorantit

Jos funktio $u$ on subharmoninen jollakin kompleksitason alueella $\Omega$ ja funktio $h$ on samalla alueella harmoninen, sanotaan, että $h$ on $u$:n harmoninen majorantti alueessa $\Omega$, jos $u$≤$h$ koko alueella $\Omega$. Tätä epäyhtälöä voidaan pitää $u$:n kasvuehtona.

Subharmoniset funktiot yksikkökiekossa ja radiaalinen maksimaalifunktio

Olkoon φ subharmoninen, jatkuva ja ei-negatiivinen funktio kompleksitason avoimella osajoukolla Ω, johon suljettu yksikkökiekko D(0, 1) kokonaisuudessaan sisältyy. Funktion φ radiaalinen maksimaalifunktio (rajoitettuna yksikkökiekkoon) määritellään yksikköympyrän kehällä seuraavasti:

$(M\varphi )(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })=\sup _{0\leq r<1}\varphi (r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }).$

Jos P_r merkitsee Poissonin ydintä, subharmonisuudesta seuraa:

$0\leq \varphi (r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}\left(\theta -t\right)\varphi \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\right)\,\mathrm {d} t,\ \ \ r<1.$

Voidaan osoittaa, että jos funktion φ rajoittumalle yksikkökiekkoon T käytetään merkintää φ^∗, edellä olevassa epäyhtälössä esiintyvä integraali on pienempi kuin tämän rajoittuman Hardyn–Littlewoodin maksimaalifunktion arvo pisteessä e ^iθ

$\varphi ^{*}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })=\sup _{0<\alpha \leq \pi }{\frac {1}{2\alpha }}\int _{\theta -\alpha }^{\theta +\alpha }\varphi \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\right)\,\mathrm {d} t,$

mistä seuraa, että 0 ≤ M φ ≤ φ^∗. Tunnetusti Hardyn–Littlewoodin operaattori on rajoitettu alueessa L^p(T), kun 1 < p < ∞. Tästä seuraa, että jollekin yleiselle vakiolle C pätee:

$\|M\varphi \|_{L^{2}(\mathbf {T} )}^{2}\leq C^{2}\,\int _{0}^{2\pi }\varphi (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })^{2}\,\mathrm {d} \theta .$

Jos f on Ω:ssa holomorfinen funktio ja 0 < p < ∞, edellä esitetty epäyhtälö pätee myös arvolla φ = |f | ^p/2. Edellä sanotusta seuraa, että Hardyn avaruus H^p toteuttaa ehdon

$\int _{0}^{2\pi }{\Bigl (}\sup _{0\leq r<1}|F(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })|{\Bigr )}^{p}\,\mathrm {d} \theta \leq C^{2}\,\sup _{0\leq r<1}\int _{0}^{2\pi }|F(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })|^{p}\,\mathrm {d} \theta .$

Jonkin verran työläämmin voidaan myös osoittaa, että F:llä on radiaaliset raja-arvot F(e ^iθ) melkein kaikkialla yksikkökiekossa, ja dominoivan suppenemisen lauseesta seuraa edelleen, että F_r, joka määritellään lausekkeella F_r(e ^iθ) = F(r e ^iθ), suppenee kohti F:ää avaruudessa L^p(T).

Subharmoniset funktiot Riemannin monistoilla

Subharmonisen funktion käsite voidaan yleistää myös mielivaltaiselle Riemannin monistolle.

Olkoon M on Riemannin monisto ja $f:\;M\to {\mathbb {R} }$ ylhäältä toispuoleisesti jatkuva funktio. Oletetaan, että jokaiselle avoimelle osajoukolle $U\subset M$ ja jokaiselle harmoniselle funktiolle f₁, joka U:n reunalla toteuttaa epäyhtälön $f_{1}\geq f$, pätee kaikkialla U:ssa epäyhtälö $f_{1}\geq f$. Tällaista funktiota f sanotaan subharmoniseksi.

Tämä määritelmä on yhtäpitävä ylempänä esitetyn kanssa. Riemannin monistoillakin kahdesti differentoituva funktio on subharmoninen, jos ja vain jos se toteuttaa kaikkialla epäyhtälön $\Delta f\geq 0$, kun $\Delta$ on Laplacen operaattori.

Lähteet

• John B. Conway: Functions of one complex variable. New York: Springer-Verlag, 1978. ISBN 0-387-90328-3
• Steven G. Krantz: Function Theory of Several Complex Variables. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 1992. ISBN 0-8218-2724-3
• Joseph Leo Doob: Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag, 1984.