Hardyn–Littlewoodin maksimaalifunktio

Hardyn–Littlewoodin maksimaalifunktio eli Hardyn–Littlewoodin maksimaalioperaattori avaruudessa $\mathbb {R} ^{n}$ on lokaalisti Lebesgue-integroituville funktioille $f\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ määritelty operaattori

$Mf\,$:

$Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{m(B_{r}(x))}}\int _{B_{r}(x)}|f(y)|\,dy$ ,

missä $m(B_{r}(x))$ on $x$-keskisen $r$-säteisen pallon $B_{r}(x)\in \mathbb {R} ^{n}$ Lebesguen mitta.

Funktio on alaspäin puolijatkuva ja sublineaarinen, eli $M(af+bg)\leq |a|Mf+|b|Mg$ kaikilla lokaalisti integroituvilla funktioilla f ja g ja skalaareilla a ja b.

Taustaa

Ensimmäisen yksiulotteisen maksimaalifunktion kehitti intohimoisena kriketinpelaajana tunnettu matemaatikko G.H. Hardy kollegansa J.E. Littlewoodin kanssa 1900-luvun ensimmäisellä puoliskolla (ks. Hardy ja Littlewood 1930, ja Young 1981). Tämä mietiskeli pelin pisteiden laskua ja totesi kuinka yhdessä pelissä epäonnistuminen tasoittuu aiempien taikka tulevien pelien hyvillä tuloksilla, ja etenkin, mikäli jokin edeltävä peli on ollut todellinen menestys, voisi se keskiarvoja laskeskelemalla vaikuttaa tulevien pelien tuomaan tason notkahdukseen lohduttavasti vielä pitkänkin ajan päästä. Tutkiakseen suurimpien arvojen vaikutusta keskiarvoihin, Hardy ja Littlewood kehittivät reaalisuoralle etäisyydellä painotetun ”suurimman keskiarvon” funktion: maksimaalifunktion, joka kuvaa funktioita niiden suurimpien ”massakeskittymien” avulla.

Maksimaalilause

Eräs keskeisimpiä maksimaalifunktiota koskevia tuloksia on Maksimaalilause.

Maksimaalilause

Olkoon $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} \,$.

(a) Jos $f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}),1\leq p\leq {\infty }$, niin funktio $Mf$ on äärellistä melkein kaikkialla.

(b) Jos $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ , niin jokaiselle $\alpha >0$

$m(\{x:(Mf)(x)>\alpha \})\leq {\frac {A}{\alpha }}\int _{(\mathbb {R} ^{n})}|f|dx$, missä $A$ on vain dimensiosta $n$ riippuva vakio (esimerkiksi $A=5^{n}$ kelpaa).

(c) Jos $f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}),1<p\leq {\infty }$, niin $Mf\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ ja

$\Vert Mf\Vert _{p}\leq A_{p}\Vert f\Vert _{p}$, missä $A_{p}$ riippuu vain luvusta $p$ ja dimensiosta $n$.

Maksimaalilauseen seurauksia

Maksimaalilauseen seurauksena saadaan (ks. esimerkiksi Stein 1970) muun muassa Lebesguen differentioituvuuslause.

Lähteet

• G.H. Hardy ja J.E. Littlewood, A Maximal Theorem with Function-Theoretic Applications. Acta Math. 54 (1930), 81-116
• Elias M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton University Press, 1970
• Laurence Chisholm Young, Mathematicians And Their Times. North-Holland Mathematics Studies 48, 1981