Solmuteoria

Kolmiulotteinen kuva apilasolmusta, yksinkertaisin epätriviaalisolmu.

Apilasolmun kaaviokuva.

Solmuteoria on matematiikan ala, joka keskittyy solmujen tutkimukseen. Klassinen solmuteoria pyrkii vastaamaan kysymykseen: jos on annettu kaksi solmua, mistä voimme päätellä, ovatko ne sama solmu vai eri solmuja. Tästä erikoistapauksena kysymys "onko annettu solmu avautuva?" Jos kaksi solmua sattuvat olemaan sama, niin sen osoittamiseen riittää saattaa ne samaan muotoon ja todeta, että ne tosiaan ovat samat. Jos taas solmut ovat eri solmuja, sen osoittamiseksi, että ne ovat eri solmuja tarvitaan invariantteja. Matemaattinen solmuteoria etsii näitä invariantteja.

On vaikea sanoa mihin matematiikan alaan solmuteoria kuuluu. Luonnollisin lähestymistapa on ajatella solmuteorian kuuluvan algebralliseen topologiaan. Solmuteoriaa voi kuitenkin tehdä myös kombinatorisesti tutkimalla solmukaavioita esimerkiksi tasoverkkoina.

Solmuteorian historia

Solmuja.

Matemaattinen solmujen tutkimus sai ilmeisesti alkunsa 1800-luvulla, kun Karl Friedrich Gauss kiinnostui kytköksistä (link) ja määritteli tavan laskea kietoutumisluvun (linking number) integraalin avulla. Gaussin oppilas J. B. Listing jatkoi solmujen tutkimista. Vähän myöhemmin kiinnostus solmuteoriaa kohtaan kasvoi, kun Lordi Kelvin esitti teorian, että atomit ovat oikeastaan solmuja. Silloin vallitsi eetteriteoria, jonka mukaan maailmankaikkeus on täynnä eetteriä, joka toimii valoaaltojen kantajana. Kelvinin mukaan materia oli vain solmussa olevia eetteripyörteitä. Tämä sai huomiota ja nosti solmuteorian luonnollisesti mielenkiinnon kohteeksi. Aika nopeasti kuitenkin osoittautui, että eetteriä ei olekaan (Michelsonin ja Morleyn koe osoitti valon nopeuden riippumattomuuden koordinaatistosta, mikä on ristiriidassa eetterihypoteesin kanssa), ja fyysikoiden kiinnostus solmuteoriaa kohti laantui. Matemaatikoiden kiinnostus kuitenkin pysyi. Algebrallisen topologian isät Henri Poincaré, Max Dehn, J. W. Alexander ja Kurt Reidemeister tutkivat solmuja, ja pitkään heidän teoriansa olivat ainoat työkalut solmuteoriassa. 1970-luvulla solmuteoria pääsi taas vauhtiin, kun Vaughan Jones keksi Jonesin polynomin. Se avasi monia portteja solmuteoreetikoille. Jones sai työstään Fieldsin mitalin. Viime vuosikymmenillä solmuteorialla on alkanut olla uusia sovelluksia biologiassa ja kemiassa. Bakteerien DNA-molekyylit ovat usein syklimäisiä eli sulkeutuvat itseensä, jolloin ne voivat olla solmussa. Myös pienet molekyylit voivat olla solmussa, ja jos solmu on kiraalinen, niin molekyylin pelikuvalla voi olla erilaisia kemiallisia ominaisuuksia alkuperäiseen solmuun nähden.

Matemaattinen määritelmä

Solmu

Riippumatta siitä tarkastellaanko solmua topologisesti vai kombinatorisesti, täytyy se määritellä topologisesti. Olkoon $S^{1}$ yksikköympyrä. Solmu on upotus $S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$. Tätä määritelmää voi luonnollisesti yleistää ja on tutkittu $n-2$-ulotteisen moniston $W^{n-2}$ avaruuteen $\mathbb {R} ^{n}$. Klassinen solmuteoria kuitenkin keskittyy mataliin ulottuvuuksiin ja kesyihin solmuihin. Kesy solmu on sileä tai paloittain lineaarinen upotus $S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$. Ideana se, että solmun jokaisella pisteellä on ympäristö, jossa solmu on avautuva. Jos ei vaadita upotukselta mitään muuta, niin solmulla saattaa olla niin kutsuttuja villejä pisteitä.

Solmujen ekvivalenssi

Topologisesti solmujen ekvivalenssi pitäisi määritellä siten, että tilanne vastaisi jollain tavalla narun venyttämistä ja kuljettamista avaruudessa itseään leikkaamatta. Tästä syntyy määritelmä

Solmujen ympäristöisotopia

Solmut f ja g $S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ ovat ympäristöisotooppisia, jos on olemassa kuvaus $F\colon \mathbb {R} ^{3}\times I\to \mathbb {R} ^{3}\times I$ ($I=[0,1]$) siten, että

• $F(x,t)=(h(x,t),t)$ jollakin funktiolla $h\colon \mathbb {R} ^{3}\times I\to \mathbb {R} ^{3}$
• $h\upharpoonright \mathbb {R} ^{3}\times \{t\}$ on homeomorfismi kaikilla $t\in I$.
• $h\upharpoonright \mathbb {R} ^{3}\times \{0\}=h_{0}=\mathrm {id} _{\mathbb {R} ^{3}}$
• $h\upharpoonright \mathbb {R} ^{3}\times \{1\}=h_{1}$ ja $f=h_{1}\circ g$

Kuvaus F siis vie avaruuden R³ vaiheiden kautta homeomorfisesti itselleen niin, että se samalla vie toisen solmun toiselle. Se on identtisen kuvauksen ja sellaisen kuvauksen välinen isotopia, joka vie toisen solmun toiselle.

Solmujen ekvivalenssi

Vaikka tämä määritelmä ei ole ihan yhtä intuitiivinen (vaikka vähemmän tekninen), se on solmujen "virallinen" ekvivalenssi, joskin se antaa saman lopputuloksen kuin ylläoleva (katso lause alla).

Solmut f ja g $S^{1}\to S^{3}$ (käytämme helppouden vuoksi $S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}$) ovat ekvivalentteja, jos on olemassa suunnan säilyttävä homeomorfismi $H\colon S^{3}\to S^{3}$, joka vie toisen solmun toiselle: $f=H\circ g$. Suunnansäilyttävä voidaan määritellä esimerkiksi niin, että se kuvaa homologiaryhmän $H_{3}(S^{3})$ 1-alkion 1-alkioksi. Toinen ja helpompi tapa on vaatia, että H on identtinen kuvaus pallon B(0,r) ulkopuolella. Nimittäin jos ajatellaan solmuja taas upotuksina avaruuteen $\mathbb {R} ^{3}$, niiden kuvajoukot ovat kompakteja ja siten sisältyvät johonkin palloon B(0,r). Vaaditaan nyt, että H on tuon pallon ulkopuolella identtinen kuvaus. Silloin se on väistämättä suunnan säilyttävä. Myös mikä tahansa suunnan säilyttävä homeomorfismi voidaan muuttaa niin, että se on identtinen tarpeeksi kaukana.

P.L.-isotopia

Eli paloittain lineaarinen (piecewise linear) isotopia. Tässä liikutaan pl-kategoriassa, eli kaikki ovat äärellisiä simpliittisiä komplekseja. Tällöin tarkastellaan tietenkin vain kesyjä solmuja (ks. yllä). Silloin solmut ovat murtoviivoja avaruudessa, joilla on jotkut päätepisteet $P_{o},P_{1},...,P_{n}$. Sanotaan että nämä pisteet virittävät solmun.

Määritellään että p.l.-solmu $K$ on saatu $\Delta ^{+}$-muunnoksella p.l.-solmusta $K'$ jos $K$:n virittävät $P_{0},\dots P_{n}$$, $K'$:n virittävät $P'_{0},\dots P'_{n+1}$ ja on olemassa $i$, $0<i<n$ (jos $i=0$ tai $i=n$ voi muuttaa numerointia sopivasti) siten että

• $P_{0}=P'_{0},\dots P_{i-1}=P'_{i-1},P_{i}=P'_{i+1},\dots P_{n}=P_{n+1}$.
• Kolmion $P'_{i-1},P'_{i},P_{i+1}$ läpi ei mene yksikään solmun janoista.

Solmuun on siis lisätty yksi piste kahden pisteen $P_{i-1}$ ja $P_{i}$ välille ja muutettu solmun kulkua menemään sen pisteen kautta.

Jos solmu$K$ on saatu solmusta $K'$ $\Delta ^{+}$-muunnoksella, niin sanotaan, että solmu $K'$ on saatu solmusta $K\$\Delta ^{-}$-muunnoksella. Jos solmu on saatu toisesta jommallakummalla muunnoksella, niin sanotaan, että se on saatu yksinkertaisesti $\Delta$-muunnoksella. Sanotaan kombinatorisia solmuja toistensa kanssa p.l.-isotooppisiksi, jos toinen on saatu toisesta äärellisellä määrällä $\Delta$-muunnoksia, eli on olemassa solmut $K_{0},K_{1}\dots ,K_{n-1},K_{n}$ siten että $K_{0}=K$, $K_{n}=K'$ ja $K_{i+1}$ on saatu $K_{i}$:stä $\Delta$-muunnoksella.

Reidemeister-ekvivalenssi

Kesystä solmusta voidaan aina piirtää solmukaavioita, joissa solmu on piirretty tasolle ja alimenokohdat ovat sopivasti merkitty. Kurt Reidemeister todisti, että kolme Reidemeisterin liikettä ovat riittäviä ja välttämättömiä kahden ekvivalentin solmun kaaviokuvien saamiseen toinen toisesta. Reidemeister liikkeet ovat esitetty seuraavissa kuvissa:

Ekvivalenssien ekvivalenssi

Lauseen todistus on esimerkiksi kirjassa Knots (Burde & Zieschang, 1985).

Lause: Yllä olevat neljä tapaa määritellä solmujen ekvivalenssi ovat kaikki yhtäpitäviä kesyille solmuille.

Topologinen lähestymistapa

Torussolmu

Solmu on ympyrän homeomorfinen kuva, joten solmujen erotteleminen niiden sisäisen rakenteen kautta on topologisesti mieletöntä. Sen sijaan solmun ympäröivän avaruuden muodolla on suuri rooli. Niinpä voidaan tutkia solmun komplementtia. Yksi tunnetuimmista solmuinvarianteista on solmun komplementin perusryhmä. Tällaisia ryhmiä kutsutaankin solmuryhmiksi (knot group). Esimerkki tällä tavalla saadusta luokittelulauseesta on torussolmujen luokittelulause:

Epätriviaalisolmu, jonka komplementin perusryhmällä on epätriviaali keskus, on torussolmu.

Torussolmu on solmu, jonka saa menemään toruksen pinnalla, katso kuva.

Kombinatorinen lähestymistapa

Solmuinvariantteja voi rakentaa myös pelkästään katsomalla solmukaavioita ja tietämättä mitään topologiasta. Se on solmuteorian hieno ja harvinainen ominaisuus topologian alana.

Väritysinvariantti

Olkoon meillä jokin solmukaavio, joka on piirretty niin, että viiva aina katkeaa, kun se menee toisen viivan alta. Tällöin kaaviomme koostuu viivoista, jokta alkavat jostan alimenokohdasta ja loppuvat sellaiseen. Jokaisessa risteyksessä täten kohtaa kolme viivaa. Väritetään nämä kolmella eri värillä. Kutsutaan saatua väritystä säännölliseksi, jos jokaisessa risteyksessä joko esiintyy kaikki kolme eri väriä tai vain yksi väri. Solmun eri säännöllisten värityksien määrä on invariantti: se pysyy muuttumattomana, vaikka kaaviota muokataan Reidemeisterin liikkeillä.

Polynomit

Solmuihin voi myös liittää polynomeja. Ensimmäisen polynomin määritteli J. W. Alexander.

Katso myös

• Möbiuksen nauha

Lähteet

• Louis Kauffman: On Knots. Annales of Mathematics Studies Number 115 Princeton University Press 1987 ISBN 0-691-08434-3
• G. Burde, H. Zieschang: Knots. Walter de Gruyter, Berlin, New York 1985, ISBN 0-89925-014-9
• Colin Adams, The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, 2001, ISBN 0-7167-4219-5
• John Horton Conway, An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties. 1970 Computational Problems in Abstract Algebra (Proc. Conf., Oxford, 1967) pp. 329–358 Pergamon, Oxford
• Max Dehn, Die beiden Kleeblattschlingen, Math. Ann. 75 (1914), 402–413.
• Flapan, Erica: When topology meets chemistry: A topological look at molecular chirality. Outlooks, 2000. Washington, DC: Cambridge University Press, Cambridge; Mathematical Association of America. ISBN 0-521-66482-9, xiv+241 pp
• W. B. Raymond Lickorish, An Introduction to Knot Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1997, ISBN 0-387-98254-X
• Kenneth A. Perko Jr., On the classification of knots. Proc. Amer. Math. Soc. 45 (1974), 262–266.
• Dale Rolfsen, Knots and Links, 1976, ISBN 0-914098-16-0

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Solmuteoria Wikimedia Commonsissa