Algebrallinen topologia

Algebrallinen topologia on matematiikan osa-alue, jossa topologisia avaruuksia tutkitaan abstraktin algebran keinoin.

Algebrallisten invarianttien teoria

Algebrallisten invarianttien teorian tavoitteena on kategorisoida tai luokitella topologisia avaruuksia. Aiheesta käytettiin ennen nimeä kombinatorinen topologia viitaten siihen, kuinka avaruus rakentuu yksinkertaisemmista avaruuksista (nykyään tähän rakentamiseen käytetty standardityökalu on CW-kompleksi). Algebrallisen topologian perusmenetelmä on tutkia avaruuksia algebrallisten invarianttien avulla. Invarianttien ideana on liittää topologiseen avaruuteen jollain menetelmällä ryhmä ja tutkia näin saadun ryhmän ominaisuuksia.

Yleisimmin käytettyjä ryhmiä algebrallisessa topologiassa ovat perusryhmä ja yleisemmin homotopiaryhmät, joita käytetään homotopiateoriassa, sekä homologia- ja kohomologiaryhmät. Topologisen avaruuden perusryhmä antaa perustietoa kyseisestä avaruudesta, mutta se ei ole useinkaan Abelin ryhmä, joten sen käyttäminen voi olla hankalaa.

Homologia- ja kohomologiaryhmät ovat sitä vastoin Abelin ryhmiä ja riittävän yksinkertaisen avaruuden homologia- ja kohomologiaryhmien virittäjäjoukot ovat äärellisiä. Äärellisviritteiset Abelin ryhmät ovat luokiteltu ja niiden avulla työskenteleminen on helppoa.

Homologiateorian tuloksia

Äärellisviritteisten abelin ryhmien avulla saadaan välittömästi useita hyödyllisiä tuloksia. Simpleksin n:nnen homologiaryhmän vapaa aste on n:s Bettin luku, joten homologiaryhmiä voidaan käyttää simpleksin Eulerin-Poincarén karakteristikan laskemiseen.

Toisena esimerkkinä suljetun moniston kohomologiaryhmää voidaan käyttää moniston suunnistuvuuden määrittämiseen. Tämä ryhmä on isomorfinen joko kokonaislukujen muodostaman ryhmän tai triviaalin ryhmän kanssa sen mukaan onko monisto suunnistuva vai ei. Siten annetun avaruuden homologiaryhmästä saadaan selville hyvin paljon tietoa avaruuden rakenteesta.

Homologiaryhmien lisäksi, jotka on määritelty vain yksinkertaisimmille rakenteille, voidaan sileiden monistojen tutkimiseen käyttää de Rhamin kohomologiaa. Tämän lisäksi differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen olemassaoloa monistolla voidaan tutkia lyhdekohomologian (englanniksi "sheaf cohomology") avulla. De Rham osoitti, että kaikki nämä lähestymistavat liittyvät toisiinsa ja että suljetulle, suunnistetulle monistolle homologiasta johdettu Bettin luku on sama kuin de Rhamin kohomologiasta johdettu Bettin luku.

Kategoriateorian yhteys algebralliseen topologiaan

Yleisesti kaikki algebrallisen topologian konstruktiot ovat funktoriaalisia. Juuri algebrallisen topologian tuloksena syntyivät käsitteet kategoria, funktori ja luonnollinen muunnos. Perusryhmät, homologia- ja kohomologiaryhmät eivät ole annetun topologisen avaruuden ainoita invariantteja siinä mielessä, että nämä ryhmät ovat samat kaikilla keskenään homeomorfisilla avaruuksilla. Avaruuksien välinen jatkuva kuvaus indusoi ryhmien välille ryhmähomomorfismin ja näitä homomorfismeja voidaan käyttää avaruuden rakenteen tutkimiseen.

Algebrallisen topologian tuloksia

Algebrallisen topologian avulla on löydetty monia hyödyllisiä tuloksia. Näitä ovat muun muassa:

• Brouwerin kiintopistelause: jokaisella n-ulotteisella jatkuvalla kuvauksella itselleen on kiintopiste.
• Borsukin–Ulamin lause: jokaisella jatkuva kuvauksella n-pallolta euklidiseen n-avaruuteen on ainakin yksi piste, jolla on olemassa antipodi piste.
• Nielsenin–Schreierin lause: Jokainen vapaan ryhmän aliryhmä on vapaa. Tulos on varsin mielenkiintoinen, sillä väite on puhtaasti algebrallinen, mutta yksinkertaisin todistus on topologinen. Jokainen vapaa ryhmä voidaan nimittäin tulkita jonkun verkon X perusryhmäksi. Peiteavaruuksien teorian mukaan jokainen G:n aliryhmä H on jonkun X:n peiteavaruuden Y perusryhmä, mutta toisaalta jokainen Y voidaan edelleen tulkita verkoksi. Tällöin sen perusryhmän H on oltava vapaa.

Eräs kuuluisimpia algebrallisen geometrian ongelmia on Poincarén hypoteesi, jonka Grigori Perelman on mahdollisesti onnistunut todistamaan. Homotopiateoriassa on useita avoimia ongelmia, joista kuuluisin pyytää kehittämään käyttökelpoisen tavan kuvata pallojen homotopiaryhmiä.