Schönfliesin lause

Topologiassa Schönfliesin lauseen mukaan jokainen upotus $f:S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}$ voidaan jatkaa homeomorfismiksi $h:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$. James Waddell Alexander osoitti vuonna 1924, että Schönfliesin lause ei yleisty korkeampiin ulottuvuuksiin. Eräs vastaesimerkki on Alexanderin torvimainen pallo. Lause voidaan todistaa ensiksi monikulmioille kaksiulotteisen simpleksin ja kompleksin avulla. Lisäksi pitää osoittaa, että jos $J$ on Jordanin käyrä, niin joukon $\mathbb {R} ^{2}\setminus J$ rajoitetun komponentin sulkeuma on homeomorfinen 2-simpleksin kanssa. Rajoitetun komponentin olemassaolo seuraa Jordanin käyrälauseesta. Tämä todistus on alun perin Edwin E. Moisen käsialaa.

Lähteet

• Moise, E. E.: Geometric topology in dimensions 2 and 3, Springer-Verlag, New York 1977.
• Oinonen, Lotta: Jordanin käyrälause ja Schönfliesin lause (Arkistoitu – Internet Archive), pro gradu, 2006, Helsingin yliopisto
• Väisälä, Jussi: Topologia II, 2. korjattu painos, 2005, Limes ry, Helsinki