Ratkeava ryhmä

Ryhmäteoriassa ratkeavalla ryhmällä tarkoitetaan ryhmää, jonka jonkin kertaluvun derivaattaryhmässä on vain yksi alkio. Yhtäpitävästi voidaan määritellä, että ryhmä on ratkeava, jos sillä on normaalijono, jonka kompositiotekijät ovat Abelin ryhmiä. Ratkeavuus on saanut nimensä Évariste Galois’n polynomiyhtälöiden ratkeavuutta koskevasta työstä (ks. Abelin–Ruffinin lause). Galois osoitti, että jokaiseen polynomiyhtälöön liittyy yksikäsitteinen ryhmä, jota nykyään kutsutaan tämän polynomin Galois’n ryhmäksi ja että tämän ryhmän ratkeavuus on yhtäpitävää polynomiyhtälön tietyntyyppisten juurien olemassaololle ("polynomin ratkeavuus").

Määritelmien yhtäpitävyys

Osoitetaan, että kaksi edellä esitettyä määritelmää ovat todella yhtäpitävät. Oletetaan aluksi, että ryhmä G on ratkeava ensimmäisen määritelmän mielessä. Eräs derivaattaryhmien perusominaisuus on se, että H' on H:n (aito tai epäaito) normaali aliryhmä, eli $H'\triangleleft H$ kaikilla ryhmillä H. Näin ollen ratkeavuuden ensimmäisen määritelmän nojalla saadaan $\{1\}=G^{(n)}\triangleleft G^{(n-1)}\triangleleft \cdots \triangleleft G'\triangleleft G$ jollain n, missä siis G^(k) on G:n kertalukua k oleva derivoitu ryhmä. Saatu jono on G:n kompositiojono ja sen tekijät G^(k-1)/G^(k) ovat derivaattaryhmien perusominaisuuksien nojalla Abelin ryhmiä. Siispä ensimmäisestä määritelmästä seuraa toinen.

Oletetaan sitten, että ryhmä G on ratkeava toisen määritelmän mukaan, jolloin siis on olemassa normaalijono $\{1\}=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{r-1}\triangleleft A_{r}=G$, jolla tekijät A_i/A_i-1 ovat Abelin ryhmiä. Tässä kohtaa hyödynnetään taas yhtä derivaattaryhmien perustavanlaatuisista ominaisuuksista, nimittäin sitä, että jos mielivaltaisen ryhmän H aliryhmä F on normaali ja tekijäryhmä $H/F$ on Abelin ryhmä, niin H' on F:n aliryhmä. Tätä tietoa käyttäen nähdään, että G' ≤ A_r-1. Aliryhmärelaatiot säilyvät ryhmiä derivoitaessa $\left(H\leq G\Rightarrow H'\leq G'\right)$, joten tästä seuraa myös G⁽²⁾ ≤ A_r-2, G⁽³⁾ ≤ A_r-3 ja niin edelleen. Lopulta saadaan G^(r) ≤ A₀ = {1}. Siispä G^(r) = {1}, eli G ratkeava myös ensimmäisen määritelmän mielessä. Näin ollen määritelmät ovat yhtäpitävät.

Ratkeavia ja ratkeamattomia ryhmiä

• Symmetrinen ryhmä S_n on ratkeava tarkalleen silloin, kun 1 ≤ n ≤ 4.
• Äärellinen ryhmä on ratkeava tarkalleen silloin, kun sen kompositiotekijät ovat syklisiä ryhmiä, joiden kertaluku on alkuluku.
  • Jos erityisesti äärellisen ryhmän kertaluku on jonkin alkuluvun potenssi (ks. p-ryhmä), niin ryhmä on ratkeava.
  • Burnsiden lauseen mukaan äärellinen ryhmä G, jonka kertaluku on muotoa #G = p^aq^b, missä p ja q ovat alkulukuja on aina ratkeava.
  • Burnsiden otaksuman (todistettu oikeaksi v. 1963) mukaan jokainen äärellinen paritonta kertalukua oleva ryhmä on ratkeava.
  • Kolmella alkuluvulla jaollinen ryhmä ei aina ole ratkeava. Edellisen kohdan perusteella kertaluvun on tällöin oltava parillinen.
• Abelin ryhmät ovat aina ratkeavia, sillä niillä G' = {1}.

Lähteet

• Humphreys, John F.: A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996. ISBN 0-19-853459-0 (englanniksi)