Pinta-alavektori

Pyöreän, tasomaisen levyn pinta-alavektori ${\textstyle \mathbf {S} }$

Pinta-alavektori tai suunnattu pinta-ala on rajoitetulle tasopinnalle määriteltävä vektorisuure, jonka suunta on pintaa vastaan kohtisuorassa ja jonka suuruus on pinnan pinta-ala. Jos tasopinnan pinta-ala on ${\textstyle A}$ ja sillä on yksikkönormaali (pintaa vastaan kohtisuora yksikkövektori) ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} }$, niin sen pinta-alavektori on

$\mathbf {S} =A\,\mathbf {\hat {n}}$.

Suunnistuvan pinnan pinta-alavektori

Suunnistuvan pinnan yksikkönormaalit

Pinta-alavektori voidaan määritellä myös muille kuin tasomaisille pinnoille. Jos pinta ${\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ on sileä, sille voidaan määrittää jokaisessa pisteessä kaksi yksikkönormaalia, ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{1}}$ ja ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{2}}$, jotka ovat toistensa vastavektorit (${\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{1}=-\mathbf {\hat {n}} _{2}}$). Pinta on suunnistettu, kun yksikkönormaaliksi valitaan toinen näistä vektorikentistä ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{1}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} ^{3}}$ tai ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{2}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} ^{3}}$. Tällöin pinnalle kiinnittyy myös positiivinen kiertosuunta: jos pinnan reunakäyrää pitkin kulkemalla pinta on koko ajan vasemmalla puolella, on kyseinen puoli pinnan positiivinen puoli.

Jos $U\subset \mathbb {R} ^{2}$on avoin joukko ja pinnalla ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ on parametriesitys ${\textstyle {\mathcal {S}}=\mathbf {r} (U)}$ jokaisessa pisteessä ${\textstyle \mathbf {x} =\mathbf {r} (\mathbf {u} )\in {\mathcal {S}}}$, niin pinnan yksikkönormaalit ovat

$\mathbf {\hat {n}} _{1,2}(\mathbf {x} )=\pm {\frac {{\frac {\partial \mathbf {r} (\mathbf {u} )}{\partial x_{1}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (\mathbf {u} )}{\partial x_{2}}}}{\left\Vert {\frac {\partial \mathbf {r} (\mathbf {u} )}{\partial x_{1}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (\mathbf {u} )}{\partial x_{2}}}\right\Vert }}$.

Mikäli pinta ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ voidaan esittää funktion $f:U\to \mathbb {R} ,~f(x,y)=z$ kuvaajan avulla, ovat yksikkönormaalit

$\mathbf {\hat {n}} _{1,2}(x,y)=\pm {\frac {-\mathbf {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)-\mathbf {j} {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)+\mathbf {k} }{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\right)^{2}}}}$.

Etumerkki ${\textstyle +}$ vastaa suunnistetun pinnan positiivisen puolen yksikkönormaalia.

Myös paloittain sileät rajoitetut pinnat voidaan suunnistaa edellä esitettyjen yksikkönormaalien avulla. Tällöin pinnan ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ pitää olla muotoa

${\mathcal {S}}=\left(\bigcup _{k=1}^{m}{\mathcal {S}}_{k}\right)\cup {\mathcal {S}}_{0}$,

missä joukot ${\mathcal {S}}_{k}$ ovat keskenään pistevieraita ja ${\textstyle {\mathcal {S}}_{0}}$ sisältyy äärellisen monen sileän Jordanin käyrän yhdisteeseen. Pinta ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ on tällöin suunnistuva, jos jokaisen osan ${\textstyle {\mathcal {S}}_{1},\dots ,{\mathcal {S}}_{m}}$ reuna on paloittain sileä umpinainen Jordanin käyrä. Tällöin pinta ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ on suunnistettu, jos osat ${\textstyle {\mathcal {S}}_{1},\dots ,{\mathcal {S}}_{m}}$ suunnistetaan siten, että kahden eri osan positiiviset kiertosuunnat ovat vastakkaiset niiden yhteisellä reunakäyrällä.

Möbiuksen nauha on hyvä esimerkki pinnasta, joka ei ole suunnistuva, koska sillä on vain yksi puoli.

Pintaelementtivektori

Yksikköpallo on paloittain sileä pinta, joka koostuu pallon ylä- ja alapuolikkaista ${\textstyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ja ${\textstyle {\mathcal {S}}_{2}}$ sekä puolikkaita yhdistävästä ympyrärenkaasta ${\textstyle {\mathcal {S}}_{0}}$. Pallopinta voidaan suunnistaa valitsemalla yksikkönormaalin suunta kummallakin puolikkaalla esimerkiksi pinnan ulkopuolelle. Huomaa tällöin pintaelementtivektorin suunta.

Jos $U\subset \mathbb {R} ^{2}$ on avoin joukko ja ${\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ on suunnistuva pinta, joka voidaan esittää parametrien ${\textstyle u}$ ja ${\textstyle v}$ avulla ${\textstyle \mathbf {r} :U\to \mathbb {R} ^{3},~\mathbf {r} (u,v)}$, niin pinnalle ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ voidaan määritellä jokaisessa sen pisteessä differentiaalinen pintaelementtivektori

$\mathrm {d} \mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} \,\mathrm {d} S=\pm \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$,

missä ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {n}} _{1}}$ tai ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {n}} _{2}}$ riippuen pinnan suunnistuksessa tehdystä valinnasta. ${\textstyle \mathrm {d} S=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$ on pinnan differentiaalinen pinta-ala-alkio.

Mikäli pinta ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ voidaan esittää implisiittisesti funktion ${\textstyle G(x,y,z)=0}$ kuvaajana, voidaan pintaelementtivektori kirjoittaa

$\mathrm {d} \mathbf {S} =\pm {\frac {\nabla G(x,y,z)}{G_{3}(x,y,z)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$,

missä ${\textstyle G_{3}}$ on vektorin ${\textstyle \nabla G}$ ${\textstyle z}$-komponentti. Ts. ${\textstyle G_{3}(x,y,z)=\nabla G(x,y,z)\cdot \mathbf {k} }$. Etumerkki ${\textstyle \pm }$ valitaan siten, että pinnan ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ suunnistus on haluttu. Esimerkiksi jos ${\textstyle G_{3}>0}$ ja pinnan positiivisen puolen halutaan olevan positiivisen ${\textstyle z}$-akselin suuntaan, valitaan etumerkki ${\textstyle +}$.

Mikäli pinta ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ voidaan esittää funktion $f:U\to \mathbb {R} ,~f(x,y)=z$ kuvaajana, voidaan pintaelementtivektori kirjoittaa

$\mathrm {d} \mathbf {S} =\pm \left(-\mathbf {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)-\mathbf {j} {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)+\mathbf {k} \right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$,

missä etumerkki ${\textstyle \pm }$ valitaan kuten edellä.

Esimerkkejä

Suorakulmion muotoisen tasopinnan pinta-alavektori

${\textstyle xy}$-tasossa makaavan suorakulmion pinta-alavektori ${\textstyle \mathbf {S} }$

Suorakulmio makaa ${\textstyle xy}$-tasossa siten, että sitä rajoittavat suorat ${\textstyle x=0}$, ${\textstyle x=a}$, ${\textstyle y=0}$ ja ${\textstyle y=b}$ ($a,b>0$). Suorakulmio on taso, jota kuvaa funktio $f:[0,a]\times [0,b]\to \mathbb {R} ,~f(x,y)=0$. Näin ollen sen yksikkönormaalit ovat

$\mathbf {\hat {n}} _{1,2}(x,y)=\pm {\frac {-\mathbf {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)-\mathbf {j} {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)+\mathbf {k} }{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\right)^{2}}}}=\pm \mathbf {k}$.

Jos valitaan pinnan positiiviseksi puoleksi positiivisen ${\textstyle z}$-akselin puoli, on suunnistetun pinnan yksikkönormaali ${\textstyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {k} }$. Pinta-alavektori on tällöin

$\mathbf {S} =A\,\mathbf {\hat {n}} =ab\,\mathbf {k}$.

Pinta-alavektori ristitulon avulla

Vektorien ${\textstyle \mathbf {a} }$ ja ${\textstyle \mathbf {b} }$ virittämän suunnikkaan pinta-alavektori on niiden ristitulovektori

Tarkastellaan ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$:n vektoreita $\mathbf {a}$ ja $\mathbf {b}$. Mikäli nämä vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia (eli ei-yhdensuuntaisia), ne virittävät suunnikkaan, jonka sivujen pituudet ovat $\|\mathbf {a} \|$ ja $\|\mathbf {b} \|$. Vektorien välillä on mitattavissa kulma $\theta \in \,]0,\pi [$. Suunnikkas on pinta, jolla on parametriesitys $\mathbf {r} (u,v)=u\mathbf {a} +v\mathbf {b}$, missä $0\leq u\leq 1$ ja $0\leq v\leq 1$. Suunnikkaan yksikkönormaalit ovat tällöin

$\mathbf {\hat {n}} _{1,2}(u,v)=\pm {\frac {{\frac {\partial \mathbf {r} (u,v)}{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (u,v)}{\partial v}}}{\left\Vert {\frac {\partial \mathbf {r} (u,v)}{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (u,v)}{\partial v}}\right\Vert }}=\pm {\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|}}$.

Vektorien $\mathbf {a}$ ja $\mathbf {b}$ virittämän suunnikkaan pinta-ala on

$A=\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin \theta$.

Positiivisen puolen valinnasta riippuen suunnikkaan pinta-alavektori on tällöin

$\mathbf {S} =A\,\mathbf {\hat {n}} =\pm \|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin \theta \,{\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|}}$.

Toisaalta ristitulon määritelmän mukaan $\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|=\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin \theta$, joten

$\mathbf {S} =\pm \mathbf {a} \times \mathbf {b}$.

Suunnistus määrää lopulta yksikkönormaalin suunnan, mutta valitsemalla ristitulovektorin suunta positiiviseksi puoleksi saadaan

$\mathbf {S} =\mathbf {a} \times \mathbf {b}$.

Pallopinnan pintaelementtivektori

${\textstyle R}$-säteisen, origokeskisen pallon pintaa kuvaa karteesisissa koordinaateissa yhtälö $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$. Muodostetaan pallopinta ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ siten, että se koostuu kahdesta puolikkaasta, avoimesta puolipallon pinnasta ${\textstyle {\mathcal {S}}_{1}}$ (yläpuoli, jossa ${\textstyle z>0}$) ja ${\textstyle {\mathcal {S}}_{2}}$(alapuoli, jossa ${\textstyle z<0}$) sekä näitä yhdistävästä ${\textstyle R}$-säteisestä ympyrärenkaasta ${\textstyle {\mathcal {S}}_{0}}$. Tällöin ${\textstyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}_{1}\cup {\mathcal {S}}_{2}\cup {\mathcal {S}}_{0}}$ ja se on paloittain sileänä pintana suunnistuva. Kiinnitetään pinnan positiivinen puoli pallon ulkopuolelle.

Geometrian kannalta on hyödyllistä parametrisoida pinta käyttäen pallokoordinaattikuvausta

${\begin{cases}x=R\cos \phi \cos \theta \\y=R\sin \phi \cos \theta \\z=R\sin \theta ,\end{cases}}$

missä $\phi \in \left]0,2\pi \right[$ ja $\theta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$.

Pinnan ${\mathcal {S}}$ parametriesitys on

$\mathbf {r} (\phi ,\theta )=R\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +R\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +R\sin \theta \,\mathbf {k}$.

Pintaelementtivektori on tällöin

${\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {S} &=\pm \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \phi }}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right)\,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \\&=\pm \left((-R\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +R\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {j} )\times (-R\cos \phi \sin \theta \,\mathbf {i} -R\sin \phi \sin \theta \,\mathbf {j} +R\cos \theta \,\mathbf {k} )\right)\,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \\&=\pm \left(R^{2}\cos \phi \cos ^{2}\theta \,\mathbf {i} +R^{2}\sin \phi \cos ^{2}\theta \,\mathbf {j} +R^{2}\sin \theta \cos \theta \,\mathbf {k} \right)\,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \\&=\pm \left(\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} \right)R^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \end{aligned}}$

Koska $\Vert \cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} \Vert =1$, niin vektori $\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k}$ kelpaa yksikkönormaaliksi. Valitsemalla positiivinen etumerkki saadaan pinnan ulkopuolelle osoittava yksikkönormaali. Merkitään $\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} =\mathbf {\hat {e}}$. Siis pallopinnan ${\textstyle {\mathcal {S}}}$ pintaelementtivektori jokaisessa pinnan pisteessä on

${\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {S} &=(\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} )R^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \\&=R^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \,\mathbf {\hat {e}} .\end{aligned}}$

Katso myös

• Pinta (geometria)
• Pinta-ala
• Pintaintegraali
• Suunnattu derivaatta