Kun ympyrän halkaisija on 1 , ympyrän kehä on pii. Pii eli π vakio , ympyrän kehän suhde halkaisijaan euklidisessa geometriassa . Pii esiintyy monilla matematiikan ja fysiikan alueilla.
Vaihtoehtoisesti pii voidaan määritellä r -säteisen ympyrän pinta-alan suhteena r -sivuisen neliön pinta-alaan:
π
r
2
r
2
=
π
{\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{r^{2}}}=\pi }
x
{\displaystyle x}
sin
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sin(x)=0}
Piin likiarvo katkaistuna 100 desimaalin jälkeen on 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.
Eukleideen Alkeet -teoksen luvussa XII todistetaan, että kahden ympyrän alan suhde on sama kuin niiden halkaisijoiden neliöiden suhde. Tästä seuraa, että ympyrän pinta-ala on vakio (= π / 4) kertaa sen halkaisijan neliö. Pii on irrationaaliluku eli luku, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton . Ferdinand Lindemann todisti vuonna 1882 piin olevan transsendenttiluku , eli luku, joka ei ole minkään rationaalilukukertoimisen polynomin nollakohta.
Joissakin maissa pii tunnetaan myös nimillä Arkhimedeen vakio [ 1] Ludolphin luku [ 2] Arkhimedes ja Ludolph van Ceulen mukaan.
Pii Koska pii on transsendenttiluku , sitä ei voi esittää päättyvänä lausekkeena peruslaskutoimituksia , potenssiinkorotusta ja juurenottoa käyttäen. Sitä on kuitenkin kauan arvioitu likimääräisesti. Vanhan testamentin Ensimmäisessä kuninkaiden kirjassa
π
{\displaystyle \pi }
kyynärän levyinen, korkeutta sillä oli viisi kyynärää, ja vasta kolmenkymmenen kyynärän pituinen mittanuora ulottui sen ympäri”.[ 3]
Ensimmäisiä säällisiä säilyneitä
π
{\displaystyle \pi }
egyptiläisen matemaatikko Ahmosen käyttämä. Se on säilynyt laskutehtävissä, jotka sisältyvät niin sanottuun Rhindin papyrukseen . Sen mukaan ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin sellaisen neliön, jonka sivu on 8/9 ympyrän halkaisijasta. Tämä vastaa
π
{\displaystyle \pi }
babylonialaiset otaksuivat, että
π
{\displaystyle \pi }
3 tai
25
8
{\displaystyle {\frac {25}{8}}}
22
7
{\displaystyle {\frac {22}{7}}}
Kreikkalainen filosofi ja matemaatikko Arkhimedes todisti ympyrän sisään ja ympärille piirrettyjen monikulmioiden avulla, että ympyrän kehän ja halkaisijan suhde on lukujen
3
1
7
{\displaystyle 3{\frac {1}{7}}}
3
10
71
{\displaystyle 3{\frac {10}{71}}}
[ 4] Ptolemaios käytti
π
{\displaystyle \pi }
377
120
{\displaystyle {\frac {377}{120}}}
Kiinalainen Tsi Ch'ung-Chi löysi 400-luvulla
π
{\displaystyle \pi }
355
113
{\displaystyle {\frac {355}{113}}}
103993
33102
{\displaystyle {\frac {103993}{33102}}}
Luku
π
{\displaystyle \pi }
irrationaaliluvuksi 1700-luvulla.
Piin voi esittää päättymättömänä sarjana . Eräs varhainen ja yksinkertainen tapa määritellä pii sarjana on Gottfried Leibnizin kehittämä Gregory–Leibniz-sarja :
π
=
4
1
−
4
3
+
4
5
−
4
7
+
4
9
−
4
11
⋯
{\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}\cdots \,}
Tämä sarja suppenee kuitenkin liian hitaasti, jotta sitä kannattaisi käyttää piin likiarvojen laskemiseen. Siitä olisi laskettava vähintään 294 ensimmäistä termiä, jotta saataisiin edes kaksidesimaalinen likiarvo 3,14. Vuonna 1706 John Machin todisti kuitenkin seuraavan yhtälön:
π
4
=
4
arctan
1
5
−
arctan
1
239
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}\!}
Koska arkustangentin Taylorin sarjakehitelmä on
arctan
x
=
x
−
x
3
3
+
x
5
5
−
x
7
7
+
⋯
{\displaystyle \arctan \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \!}
saatiin tästä piille nopeasti suppeneva ja käyttökelpoinen sarjakehitelmä:
π
4
=
4
5
−
4
3
⋅
5
3
+
4
5
⋅
5
5
−
4
7
⋅
5
7
+
.
.
.
.
−
1
239
+
1
3
⋅
239
3
−
1
5
⋅
239
5
+
1
7
⋅
239
7
−
.
.
.
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {4}{5}}-{\frac {4}{3\cdot 5^{3}}}+{\frac {4}{5\cdot 5^{5}}}-{\frac {4}{7\cdot 5^{7}}}+....-{\frac {1}{239}}+{\frac {1}{3\cdot 239^{3}}}-{\frac {1}{5\cdot 239^{5}}}+{\frac {1}{7\cdot 239^{7}}}-...}
Machin itse laski tällä kaavalla piin 100 desimaalin tarkkuudella, ja myöhemminkin tätä sarjaa on paljon käytetty yhä tarkempien likiarvojen laskemiseen.
Alkulukujen 7, 11, 13, … avulla on johdettu tulokaava[ 5]
π
=
[
945
(
7
6
7
6
−
1
⋅
11
6
11
6
−
1
⋅
13
6
13
6
−
1
⋅
.
.
.
)
]
1
6
{\displaystyle \pi =[945({7^{6} \over 7^{6}-1}\cdot {11^{6} \over 11^{6}-1}\cdot {13^{6} \over 13^{6}-1}\cdot ...)]^{1 \over 6}}
Edellistä pienemmistä alkuluvuista 2, 3, 5, … lähtien pätee myös tulokaava[ 5]
(
1
−
1
2
2
)
(
1
−
1
3
2
)
(
1
−
1
5
2
)
.
.
.
=
6
π
2
{\displaystyle (1-{1 \over 2^{2}})(1-{1 \over 3^{2}})(1-{1 \over 5^{2}})...={6 \over \pi ^{2}}}
Vuorottelevista sarjoista voidaan mainita tulos[ 5]
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
k
2
=
π
2
12
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k-1} \over k^{2}}={\pi ^{2} \over 12}}
josta saadaan
π
=
12
(
1
−
1
4
+
1
9
−
1
16
+
1
25
−
.
.
.
)
{\displaystyle \pi ={\sqrt {12(1-{1 \over 4}+{1 \over 9}-{1 \over 16}+{1 \over 25}-...)}}}
Muita äärettömiä sarjoja:
∑
k
=
0
∞
k
!
(
2
k
+
1
)
!
!
=
∑
k
=
0
∞
2
k
k
!
2
(
2
k
+
1
)
!
=
π
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}={\frac {\pi }{2}}\!}
3
6
5
∑
k
=
0
∞
(
(
4
k
)
!
)
2
(
6
k
)
!
9
k
+
1
(
12
k
)
!
(
2
k
)
!
(
127169
12
k
+
1
−
1070
12
k
+
5
−
131
12
k
+
7
+
2
12
k
+
11
)
=
π
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{6^{5}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {((4k)!)^{2}(6k)!}{9^{k+1}(12k)!(2k)!}}\left({\frac {127169}{12k+1}}-{\frac {1070}{12k+5}}-{\frac {131}{12k+7}}+{\frac {2}{12k+11}}\right)=\pi \!}
1
2
6
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
10
n
(
−
2
5
4
n
+
1
−
1
4
n
+
3
+
2
8
10
n
+
1
−
2
6
10
n
+
3
−
2
2
10
n
+
5
−
2
2
10
n
+
7
+
1
10
n
+
9
)
=
π
{\displaystyle {\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)=\pi \!}
∑
n
=
1
∞
3
n
−
1
4
n
ζ
(
n
+
1
)
=
π
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}-1}{4^{n}}}\,\zeta (n+1)=\pi \!}
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
2
n
+
1
)
1
=
1
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
1
9
−
⋯
=
arctan
1
=
π
4
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{1}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\arctan {1}={\frac {\pi }{4}}\!}
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
2
n
+
1
)
2
=
1
1
2
+
1
3
2
+
1
5
2
+
1
7
2
+
⋯
=
π
2
8
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{2}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}\!}
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
2
n
+
1
)
3
=
1
1
3
−
1
3
3
+
1
5
3
−
1
7
3
+
⋯
=
π
3
32
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{3}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{3}}{32}}\!}
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
2
n
+
1
)
4
=
1
1
4
+
1
3
4
+
1
5
4
+
1
7
4
+
⋯
=
π
4
96
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{4}={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}\!}
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
2
n
+
1
)
5
=
1
1
5
−
1
3
5
+
1
5
5
−
1
7
5
+
⋯
=
5
π
5
1536
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{5}={\frac {1}{1^{5}}}-{\frac {1}{3^{5}}}+{\frac {1}{5^{5}}}-{\frac {1}{7^{5}}}+\cdots ={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}\!}
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
2
n
+
1
)
6
=
1
1
6
+
1
3
6
+
1
5
6
+
1
7
6
+
⋯
=
π
6
960
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{6}={\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{960}}\!}
π
=
12
(
1
−
1
3
⋅
3
+
1
5
⋅
3
2
−
1
7
⋅
3
3
+
⋯
)
{\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)}
π
=
8
∑
k
=
1
∞
∑
m
=
1
∞
1
(
4
m
−
2
)
2
k
=
4
∑
k
=
1
∞
∑
m
=
1
∞
m
2
−
k
2
(
m
2
+
k
2
)
2
=
360
∑
k
=
1
∞
∑
m
=
1
k
1
m
(
k
+
1
)
3
4
{\displaystyle \pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k}}}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}}{(m^{2}+k^{2})^{2}}}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3}}}}}}
Muutama BBP-kaava:
π
=
1
2
∑
k
=
0
∞
1
16
k
(
8
8
k
+
2
+
4
8
k
+
3
+
4
8
k
+
4
−
1
8
k
+
7
)
=
1
4
∑
k
=
0
∞
1
16
k
(
8
8
k
+
1
+
8
8
k
+
2
+
4
8
k
+
3
−
2
8
k
+
5
−
2
8
k
+
6
−
1
8
k
+
7
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
4
k
(
2
4
k
+
1
+
2
4
k
+
2
+
1
4
k
+
3
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\pi &={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}+{\tfrac {4}{8k+4}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+1}}+{\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}-{\tfrac {2}{8k+5}}-{\tfrac {2}{8k+6}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\tfrac {2}{4k+1}}+{\tfrac {2}{4k+2}}+{\tfrac {1}{4k+3}}\right).\end{aligned}}}
Wallisin tulo :
∏
n
=
1
∞
4
n
2
4
n
2
−
1
=
2
1
⋅
2
3
⋅
4
3
⋅
4
5
⋅
6
5
⋅
6
7
⋅
8
7
⋅
8
9
⋯
=
4
3
⋅
16
15
⋅
36
35
⋅
64
63
⋯
=
π
2
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdot {\frac {64}{63}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}\!}
Viètan kaava:
2
2
⋅
2
+
2
2
⋅
2
+
2
+
2
2
⋅
⋯
=
2
π
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots ={\frac {2}{\pi }}\!}
Muita äärettömiä tuloja:
π
=
2
3
∏
k
=
1
∞
(
2
k
−
1
)
1
2
−
k
(
2
k
+
3
)
k
+
1
2
2
k
+
1
(
k
k
+
1
)
2
k
{\displaystyle \pi =2{\sqrt {3}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k-1\right)^{{\frac {1}{2}}-k}\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}{2k+1}}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}
π
e
=
2
∏
k
=
1
∞
(
2
k
+
1
2
k
−
1
)
2
k
−
1
(
k
k
+
1
)
2
k
{\displaystyle {\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}
π
⋅
e
=
6
∏
k
=
1
∞
(
2
k
+
3
2
k
+
1
)
2
k
+
1
(
k
k
+
1
)
2
k
{\displaystyle \pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}
π
=
3
2
⋅
3
2
∏
k
=
1
∞
k
2
k
2
−
(
2
3
)
2
{\displaystyle \pi ={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}}}
π
=
4
3
⋅
2
2
∏
k
=
1
∞
k
2
k
2
−
(
3
4
)
2
{\displaystyle \pi ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}}
π
=
6
5
⋅
1
2
∏
k
=
1
∞
k
2
k
2
−
(
5
6
)
2
{\displaystyle \pi ={\frac {6}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}}}}
π
=
9
2
⋅
3
2
∏
k
=
1
∞
k
2
+
k
k
2
+
k
+
2
9
{\displaystyle \pi ={\frac {9}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {2}{9}}}}}
π
=
36
5
⋅
1
2
∏
k
=
1
∞
k
2
+
k
k
2
+
k
+
5
36
.
{\displaystyle \pi ={\frac {36}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {5}{36}}}}.}
Piin avulla laskiessa voidaan lausekkeissa korvata se erityisellä lausekkeella.
2
+
3
=
3,146
+
{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3{,}146^{+}}
15
−
3
+
1
=
3,140
+
{\displaystyle {\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+1=3{,}140^{+}}
31
3
=
3,141
3
+
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}=3{,}1413^{+}}
7
+
6
+
5
=
3,141
6
+
{\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3{,}1416^{+}}
[ 6] Ramanujanin kehittämä approksimaatio, kolme oikeaa desimaalia:
9
5
+
9
5
=
3,141
6
+
{\displaystyle {\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3{,}1416^{+}}
7
7
4
9
=
3,141
56
+
{\displaystyle {\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3{,}14156^{+}}
355
113
=
3,141
59
29
+
{\displaystyle {\frac {355}{113}}=3{,}14159\ 29^{+}}
Ramanujanin kehittämä approksimaatio, kahdeksan oikeaa desimaalia:
3
4
+
2
4
+
1
2
+
(
2
3
)
2
4
=
2143
22
4
=
3,141
59
2652
+
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3{,}14159\ 2652^{+}}
yhdeksän oikeaa desimaalia:
63
25
⋅
17
+
15
5
7
+
15
5
=
3,141
59
26538
+
{\displaystyle {\frac {63}{25}}\cdot {\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}=3{,}14159\ 26538^{+}}
yhdeksän oikeaa desimaalia:
10
100
11222,111
22
193
=
3,141
59
26536
+
{\displaystyle {\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222{,}11122}}}=3{,}14159\ 26536^{+}}
80
15
(
5
4
+
53
89
)
3
2
3308
(
5
4
+
53
89
)
−
3
89
{\displaystyle {\frac {80{\sqrt {15}}(5^{4}+53{\sqrt {89}})^{\frac {3}{2}}}{3308(5^{4}+53{\sqrt {89}})-3{\sqrt {89}}}}}
ln
(
640320
3
+
744
)
163
=
3,141
59
26535
89793
23846
26433
83279
+
{\displaystyle {\frac {\ln(640320^{3}+744)}{\sqrt {163}}}=3{,}14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}}
ln
(
5280
3
(
236674
+
30303
61
)
3
+
744
)
427
{\displaystyle {\frac {\ln(5280^{3}(236674+30303{\sqrt {61}})^{3}+744)}{\sqrt {427}}}}
ln
(
(
2
u
)
6
+
24
)
3502
{\displaystyle {\frac {\ln {\big (}(2u)^{6}+24{\big )}}{\sqrt {3502}}}}
missä
u
=
(
a
+
a
2
−
1
)
2
(
b
+
b
2
−
1
)
2
(
c
+
c
2
−
1
)
(
d
+
d
2
−
1
)
{\displaystyle u=(a+{\sqrt {a^{2}-1}})^{2}(b+{\sqrt {b^{2}-1}})^{2}(c+{\sqrt {c^{2}-1}})(d+{\sqrt {d^{2}-1}})}
ja
a
=
1
2
(
23
+
4
34
)
b
=
1
2
(
19
2
+
7
17
)
c
=
(
429
+
304
2
)
d
=
1
2
(
627
+
442
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{2}}(23+4{\sqrt {34}})\\b&={\tfrac {1}{2}}(19{\sqrt {2}}+7{\sqrt {17}})\\c&=(429+304{\sqrt {2}})\\d&={\tfrac {1}{2}}(627+442{\sqrt {2}})\end{aligned}}}
Englantilainen amatöörimatemaatikko William Shanks (1812 – 1882) laski 20 vuoden ajan piin desimaaleja käsin ja ratkaisi luvun 707 desimaalin tarkkuudella. Vuonna 1945 kuitenkin huomattiin, että laskun 528. desimaali oli laskettu virheellisesti.[ 7]
Nykyään piin desimaaleja lasketaan tietokoneilla.
1900-luvulla pii tunnettiin jo yli miljardin desimaalin tarkkuudella, ja elokuussa 2021 siitä tiedettiin ensimmäiset 62,8 biljoonaa desimaalia.[ 8] [ 9] biljoonaa eli 1 05 000 000 000 000 desimaalia.[ 10]
1990-luvulla kehitettiin tapoja laskea piin heksadesimaaliesityksen numeroita, mistä tahansa kohdasta ilman, että aiempia numeroita tarvitsee tietää.
Kolikkoa kuvaava ympyrä neliöruudukolla. Kun kolikko heitetään satunnaisesti neliöruudukolle, jossa kunkin neliön sivun pituus on sama kuin kolikon halkaisija (eli kaksi kertaa säde r), niin todennäköisyys, että kolikko peittää neliöiden risteyskohdan kuvassa esitetyllä tavalla, on π/4. Toistamalla koe lukuisia kertoja saadaan piille kokeellinen likiarvo.[ 11]
Vaikka piistä tiedetään paljon, on vielä useita avoimia kysymyksiä sen desimaaleihin liittyen:
Onko desimaaleissa toistuvia kuvioita, vai onko ketju hahmoton?[ 7]
Toistuvatko jotkin numerot tai luvut piissä useammin kuin toiset?[ 7] Pappas, Theoni: Lisää matematiikan iloja . (Alkuteos: More Joy of Mathematics. Exploring Mathematics All Around You) Suomentanut Juha Pietiläinen. Helsinki: Terra Cognita, 1991. ISBN 952-5202-46-1
↑ Archimedes' Constant , Wolfram Research, viitattu 10.2.2021 (englanniksi) ↑ Ludolph's Constant , Wolfram Research, viitattu 10.2.2021 (englanniksi) ↑ 1. Kun. 7:23 ↑ Iso tietosanakirja, 9. osa (Mustonen-Pielisjärvi), art. Pi, Otava 1935
↑ a b c Jukka Männistö: Matematiikan helmiä lukiolaisille . (Luvun pii määrittämiskeinoja, s. 17–23) Tampereen yliopisto. Tampereen normaalikoulun julkaisuja. Sarja A1: Tutkielmia ja monisteita 1, 1993. ISBN 951-44-3422-6 ↑ A nested radical approximation for π ↑ a b c Theoni Pappas s. 45
↑ 3,14.. Piille laskettiin nyt reipas määrä desimaaleja: 62 biljoonaa numeroa AfterDawn . Viitattu 18.8.2021.↑ Pi-Challenge - Weltrekordversuch der FH Graubünden - FH Graubünden www.fhgr.ch . Arkistoitu 18.8.2021. Viitattu 18.8.2021.↑ Tojkander, Maria: Kuinka monta piin desimaalia on pystytty laskemaan? tekniikanmaailma.fi . Viitattu 23.4.2024. ↑ Yrjö Juve, Todennäköisyyslaskennan alkeita , 5. painos, Kirjayhtymä, 1971, s. 24–25.
Beckmann, Petr: π: Erään luvun tarina . ((A history of π, 1971.) Suomentanut Hannele Salminen) Helsinki: Terra Cognita, 2000. ISBN 952-5202-28-3 [1] Gutenberg-projektin teksti, jossa on ensimmäiset 10 miljoonaa desimaaliaPiFastilla voi itse laskea piin ja muiden vakioiden arvoja erittäin tarkastiPi-memory (Arkistoitu – Internet Archive)[2] Pii-laskin, joka toimii selaimessa
![{\displaystyle \pi =[945({7^{6} \over 7^{6}-1}\cdot {11^{6} \over 11^{6}-1}\cdot {13^{6} \over 13^{6}-1}\cdot ...)]^{1 \over 6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/673c5ca2bff577084ed9e0ec3f37168ad0f8593e)
![{\displaystyle \pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k}}}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}}{(m^{2}+k^{2})^{2}}}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637f3bd1f1f43c56cd7c73ea811a470a11734006)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}=3{,}1413^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39973f9b044aeff301037b2ee52829603968240)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3{,}14159\ 2652^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6253386cd7e8a06b3f5d6feffa8c4e52c5e30941)
![{\displaystyle {\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222{,}11122}}}=3{,}14159\ 26536^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b5f9747a67502acbebcf60e0b70c01e75c878fa)
