Neliö (algebra)

y = x² jokaiselle kokonaislukuarvolle 1 ≤ x ≤ 25.

Luvun neliö on algebrassa luku, joka saadaan, kun alkuperäinen luku kerrotaan itsellään. Luvun $x$ neliö on $x\cdot x=x^{2}$. Luvun neliöön korottaminen tarkoittaa siis luvun kertomista itsellään.

Nimitys tulee siitä, että jos geometrisen neliön sivun pituuden mittaluku (eli sivun pituus) on $x$, niin tämän neliön muotoisen kuvion pinta-ala on $x^{2}$.

Kaikkien nollasta eroavien kokonais- ja reaalilukujen neliö on positiivinen luku.

Kokonaislukua, joka on jonkin kokonaisluvun neliö, kutsutaan neliöluvuksi (tai joskus täydelliseksi neliöksi). Esimerkiksi 25 on neliöluku, koska $25=5^{2}$.

Neliöiden erotus

Kahden neliöluvun $x^{2}$ ja $y^{2}$ erotus on laskettavissa helposti kaavalla $(x-y)(x+y)$. Esimerkiksi $10^{2}-5^{2}$ lasketaan $(10-5)(10+5)=5\cdot 15=75$.

Neliöjono

Neliöjonon summa $1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2}$ lasketaan kaavalla ${\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$.

Yleisiä säännönmukaisuuksia neliöillä

Kokonaislukujen neliöt päättyvät poikkeuksetta seuraaviin numeroihin: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

Jos potenssiin korotettava kantaluku päättyy numeroon 5, neliön kaksi viimeistä numeroa ovat aina 25, siis viitoseen päättyvien neliöitten kaksi viimeistä numeroa ovat aina 25. Esimerkiksi:

$35^{2}=1225$

Nollaan päättyvien lukujen neliöt päättyvät aina kaksinkertaiseen määrään nollia verrattuna alkuperäiseen, esimerkiksi:

$70^{2}=4900$

Jos alkuperäiseen potenssiin korotettavaan lukuun lisätään 50, sen neliö päättyy aina kahteen samaan numeroon. Tästä voidaan myös johtaa sääntö, että jos luku päättyy kahteen tiettyyn numeroon, myös sen neliöt päättyvät poikkeuksetta samoihin kahteen numeroon, koska 50+50 = 100.^selvennä Esimerkkejä:

$24^{2}=576$

$74^{2}=5476$

Tästä voidaan siis johtaa sääntö, että kaikkien numeroihin 24 tai 74 päättyvien kokonaislukujen neliöt päättyvät aina numeroihin 76. Toinen esimerkki parittomilla luvuilla:

$9^{2}=81$

$59^{2}=3481$

Jälleen saadaan johdettua sääntö, että kaikkien numeroihin 09 tai 59 päättyvien kokonaislukujen neliöt päättyvät aina numeroihin 81. Ylläolevassa ylemmässä esimerkissä yhdeksikön eteen voidaan ajatella nolla.

Parilliset neliöt ovat aina jaollisia neljällä, koska $(2n)^{2}=4n^{2}$.

Jos parittomasta neliöstä vähennetään luku 1, saadaan aina kahdeksalla jaollinen luku, koska $(2n+1)^{2}-1=4n(n+1)$ ja joko $n$ tai $n+1$ on aina parillinen. Esimerkiksi:

$75^{2}-1=5625-1=5624=8\cdot 703$

$21^{2}-1=441-1=440=8\cdot 55$

Katso myös

• Toisen asteen polynomifunktio ja Potenssifunktio
• Neliöjuuri
• Kuutio (algebra)
• Analyyttinen geometria
• Pythagoraan kolmikko