Osamäärätesti tai suhdetesti on tapa tutkia reaali- tai kompleksitermisten sarjojen
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
Jean le Rond d'Alembert ja se tunnetaankin joskus nimellä d'Alembertin osamäärätesti . Testiä varten lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo indeksin n lähestyessä ääretöntä ja merkitään saatua raja-arvoa kirjaimella L . Matemaattisesti ilmaistuna
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
L
.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=L.}
[ 1] Saatua raja-arvoa tulkitaan seuraavasti:
jos
L
<
1
{\displaystyle L<1\!}
jos
L
>
1
{\displaystyle L>1\!}
jos
L
=
1
{\displaystyle L=1\!}
Tutkitaan sarjan
∑
n
=
1
∞
n
e
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}
suppenemista. Lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
lim
n
→
∞
|
n
+
1
e
n
+
1
n
e
n
|
=
lim
n
→
∞
|
n
+
1
e
n
+
1
⋅
e
n
n
|
=
lim
n
→
∞
|
n
+
1
n
⋅
e
n
e
n
⋅
e
|
=
lim
n
→
∞
|
(
1
+
1
n
)
⋅
1
e
|
=
1
⋅
1
e
=
1
e
<
1.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{e^{n+1}}}\cdot {\frac {e^{n}}{n}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {e^{n}}{e^{n}\cdot e}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|(1+{\frac {1}{n}})\cdot {\frac {1}{e}}\right|=1\cdot {\frac {1}{e}}={\frac {1}{e}}<1.}
Koska raja-arvo
L
=
1
e
{\displaystyle L={\frac {1}{e}}}
Tutkitaan sarjan
∑
n
=
1
∞
e
n
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}}
suppenemista. Osamäärätestin mukaisesti lasketaan
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
lim
n
→
∞
|
e
n
+
1
n
+
1
e
n
n
|
=
lim
n
→
∞
|
e
n
+
1
n
+
1
⋅
n
e
n
|
=
lim
n
→
∞
|
n
n
+
1
⋅
e
n
⋅
e
e
n
|
=
lim
n
→
∞
|
(
1
−
1
n
+
1
)
⋅
e
|
=
1
⋅
e
=
e
>
1.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {e^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{e^{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n}{n+1}}\cdot {\frac {e^{n}\cdot e}{e^{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|(1-{\frac {1}{n+1}})\cdot e\right|=1\cdot e=\!\,e>1.}
Koska
L
=
e
≈
2,718
…
{\displaystyle L=e\approx 2{,}718\dots }
Jos sarjan raja-arvo L on tasan 1 eli
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
1
,
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1,}
niin osamäärätestillä ei voida selvittää sen suppenemista.
Esimerkiksi sarja
∑
n
=
1
∞
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1}
hajaantuu, mutta
lim
n
→
∞
|
1
1
|
=
1.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1.}
Sarja
∑
n
=
1
∞
1
n
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}
puolestaan suppenee itseisesti , mutta
lim
n
→
∞
|
1
(
n
+
1
)
2
1
n
2
|
=
1.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1.}
Sarja
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
1
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}}
suppenee ehdollisesti , mutta
lim
n
→
∞
|
(
−
1
)
n
+
1
(
n
+
1
)
(
−
1
)
n
n
|
=
1.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1.}
Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis , fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3 
