Nollafunktio

Nollafunktio on matematiikassa sellainen yhden muuttujan vakiofunktio, joka saa arvokseen aina nollan. Sen kuvaaja on vaakasuora, joka kulkee x-akselin päällä, eli se on siinä mielessä lineaarista funktiota. Nollafunktion lauseke voidaan kirjoittaa

$f(x)=0\,$.

Yleisiä ominaisuuksia

Nollafunktio on määritelty kaikilla luvuilla, joten lähtöjoukoksi voidaan valita kaikki reaaliluvut $\mathbb {R}$. Nollafunktion $f$ kuvaus on surjektio, jos maalijoukkossa on vain luku nolla

$f:\mathbb {R} \to \{0\}$,

mutta kuvaus ei ole koskaan injektio, koska vähintään kaksi lukua (eli tässä tapauksessa kaikki luvut) kuvautuvat samaksi maalijoukon alkioksi eli nollaksi. Tämän vuoksi nollafunktio ei ole myöskään bijektio.

Nollafunktiolla on nollakohtina kaikki reaaliluvut.

Jos nollafunktio f(x) on yhdistetyssä funktiossa, on tuloksena nollafunktio tai muu vakiofunktio:

$(f\circ g)(x)=0\quad tai\quad (g\circ f)(x)=g(0)$

Nollafunktio on monotoninen funktio. Se voidaan tulkita sekä monotonisesti kasvavaksi- että väheneväksi funktioksi. Se on sekä parillinen funktio että pariton funktio samalla kertaa.

Nollafunktion derivaatta on

$f'(x)=D0=0$

on myös nollafunktio.

Nollafunktion integraalifunktio

$F(x)=\int 0\ dx=0x+C=C$

on vakiofunktio.