Mitta

Intuitiivisesti mitta on kuvaus, joka liittää jokaiseen mitattavaan joukkoon ei-negatiivisen reaaliluvun, missä osajoukot kuvautuvat pienemmille luvuille.

Mitta on mittateorian peruskäsite, jolla tarkoitetaan funktiota, jonka halutaan liittävän erilaisiin tutkittaviin joukkoihin esimerkiksi lukumäärä, pituus, pinta-ala, tilavuus tai todennäköisyys. Mitan käsitteeseen pohjautuvat todennäköisyysteoria ja integraalilaskennan yleinen teoria.

Lebesguen mitta $m$ reaalilukujen joukossa $\mathbb {R}$ ja sen osajoukoissa mittaa välin pituutta: $m([3,8])=5$. Usean pistevieraan välin yhdisteen mitta on näiden osavälien mittojen summa. Joukon $\mathbb {R} ^{2}$ Lebesguen mitta mittaa joukkojen pinta-alaa, jne. Ihan kaikille joukon $\mathbb {R}$ osajoukoille Lebesguen mittaa ei pysty määrittelemään. Niistä, joille pystyy, käytetään termiä mitallinen joukko.

Lukumäärämitta puolestaan kertoo joukon alkioiden lukumäärän paitsi että äärettömillä joukoilla se saa arvon $\infty$. Sen pystyy määrittelemään kaikille joukoille. Muitakin mittoja on loputtomasti.

Tässä artikkelissa "mitta" tarkoittaa positiivista mittaa eli sellaista, jonka arvot ovat joukossa $[0,\infty ]$. Kompleksinen mitta määritellään muuten samoin, mutta sen arvojen pitää olla kompleksilukuja (siis $\infty$ on kielletty). Merkkinen mitta määritellään muuten samoin, mutta sen arvojen pitää kuulua joukkoon $\mathbb {R}$ tai $\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ riippuen siitä, minkä oppikirjan määritelmää käytetään. Välin $[0,1]$ osajoukkoihin rajoitettu Lebesguen mitta on näitä kaikkia, mutta koko joukon $\mathbb {R}$ Lebesguen mitta ei tietenkään ole kompleksinen mitta.

Määritelmä

Merkitään $[0,\infty ]:=[0,\infty [\,\cup \,\{+\infty \}$ (laajennetun lukusuoran ei-negatiivinen osa).

Oletetaan, että $X$ on joukko ja ${\mathcal {A}}$ on jokin joukon $X$ sigma-algebra. Sanomme, että funktio $\mu :{\mathcal {A}}\rightarrow [0,\infty ]$ on mitta, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät:

1. Tyhjän joukon mitta on nolla, eli $\mu (\emptyset )=0$
2. Jos joukot $A_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in \mathbb {N}$, ovat erillisiä, niin $\mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (A_{i})$.

Ehtoa (2) kutsutaan usein täysadditiivisuudeksi tai $\sigma$-additiivisuudeksi.

Jos $\mu :{\mathcal {A}}\rightarrow [0,\infty ]$ on mitta joukossa $X$, niin kutsumme kolmikkoa $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ mitta-avaruudeksi. Joukkoa $X$ kutsutaan tällöin perusjoukoksi ja sigma-algebran ${\mathcal {A}}$ alkioita mitallisiksi joukoiksi.

Ominaisuuksia

Mitan määritelmän avulla voidaan osoittaa esimerkiksi seuraavat ominaisuudet jokaisessa mitta-avaruudessa $(X,{\mathcal {A}},\mu )$:

• Monotonisuus: jos $A,B\in {\mathcal {A}}$ ja $A\subset B$, niin $\mu (A)\leq \mu (B).$

• Subadditiivisuus: jos $A_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in \mathbb {N}$ (eivät välttämättä erillisiä), niin $\mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)\leq \sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (A_{i}).$

• Konvergenssilauseet:

1. Jos $B_{i}\in {\mathcal {A}},$ $i\in \mathbb {N} ,$ ja $B_{1}\subset B_{2}\subset ...$, niin $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (B_{i}).$
2. Jos $C_{i}\in {\mathcal {A}},$ $i\in \mathbb {N} ,$ $C_{1}\supset C_{2}\supset ...$ ja $\mu (C_{1})<\infty$, niin $\mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }C_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (C_{i}).$

Ulkomitan määräämä mitta

Usein mittateoriassa mitta pyritään määrittelemään ns. ulkomitan avulla. Ulkomitta ei itsessään ole (yleensä) mitta, mutta siitä saadaan Carathéodoryn lauseen avulla mitta. Näin saatuja mittoja ovat mm. Hausdorffin mitat ja Lebesguen mitta.

Nimityksiä

• Joukkoa $N\subset X$ kutsutaan μ-nollamittaiseksi jos ja vain jos $\mu (N)=0$.

• Ominaisuuden $P$ sanotaan pätevän μ-melkein kaikkialla joukossa X jos ja vain jos suurin X:n osajoukko N, jossa ominaisuus P ei päde, on μ-nollamittainen.

• Mitta-avaruus on äärellinen, jos perusjoukon mitta on äärellinen. Mitta-avaruutta sanotaan σ-äärelliseksi, jos perusjoukko on numeroituva yhdiste äärellismittaisista joukoista. Voidaan osoittaa, että σ-äärellisten joukkojen numeroituva yhdiste on σ-äärellinen.

Esimerkiksi reaalilukujen joukko $\mathbb {R}$ varustettuna Lebesguen mitalla $m$ on σ-äärellinen mutta ei äärellinen. Se ei ole äärellinen, koska $m(\mathbb {R} )=\infty$. Tarkastellaan suljettuja välejä $[k,k+1]$ kaikilla kokonaisluvuilla $k$. Näitä on numeroituvan monta, kaikkien mitta on $1$, ja niiden yhdiste on koko reaaliakseli. Tarkastellaan reaalilukujen joukkoa varustettuna lukumäärämitalla $\mu$, joka antaa äärellisen joukon alkioiden lukumäärän mutta äärettömille joukoille arvon $\infty$. Tämä mitta $\mu$ ei ole σ-äärellinen, sillä jokainen äärellismittainen joukko sisältää vain äärellisen monta pistettä, joten reaaliakselia ei saada numeroituvana yhdisteenä äärellismittaisista joukoista (äärellisten joukkojen numeroituva yhdiste kun on numeroituva toisin kuin $\mathbb {R}$).

Erityisiä mittoja

• Mitta on täydellinen, jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko mitallinen. Voidaan osoittaa, että jokainen mitta voidaan täydellistää täydelliseksi mitaksi laajentamalla sigma-algebraa.

• Mitta on Borel, jos jokainen Borel-joukko on mitallinen.

Katso myös

• Mittaintegraali
• Lebesguen mitta
• Hausdorffin mitta
• Todennäköisyysmitta
• Jordanin mitta
• Diracin mitta
• Lukumäärämitta

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. (15) Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7