Maxwellin yhtälöt

Maxwellin yhtälöt on neljän yhtälön kokoelma, joka kuvaa sähkömagneettisten kenttien käyttäytymistä ja vuorovaikutuksia. Yhtälöjoukko on nimetty fyysikko James Clerk Maxwellin mukaan.

Maxwellin yhtälöjoukko sisältää Gaussin lain, Faradayn lain, Ampèren-Maxwellin lain ja Gaussin lain magnetismille. Lait kertovat:

• miten sähkövaraus synnyttää sähkökentän (Gaussin laki)
• miten muuttuva magneettikenttä synnyttää sähkökentän (Faradayn induktiolaki) ja
• miten sähkövirta ja muuttuva sähkökenttä synnyttää magneettikentän (Ampèren laki + Maxwellin lisäys)
• miten magneettisia monopoleja ei ole olemassa (Gaussin laki magneettikentille).

Yhdessä sähkömagneettisen säteilyn väliainerelaatioiden ja Lorentzin voiman kanssa nämä yhtälöt mallintavat koko sähkömagneettisen luonnonilmiön.

Maxwell esitti nämä lait ja yhtälöt vuonna 1861 julkaistussa artikkelissaan On Physical Lines of Force. Oliver Heaviside kokosi yhtälöt vuonna 1884 nykyisin tunnetuiksi neljäksi yhtälöksi käyttäen vasta kehitetyn vektorianalyysin merkintätapaa.

Maxwell myös esitti, miten yhtälöt ennustivat vaihtuvien sähkömagneettisten aaltojen etenevän tyhjässä avaruudessa nopeudella, joka voitiin laskea sähkö- ja magneettiopissa tunnettujen luonnonvakioiden avulla ja joka laskujen mukaan näytti olevan sama kuin valon nopeus. Tästä hän päätteli, että valo koostuukin juuri sähkömagneettisista aalloista. Myöhemmin vuonna 1888 Heinrich Hertz osoitti, että valon nopeudella eteneviä sähkömagneettisia aaltoja, tosin pidempiaaltoisia (matala taajuisempia) ja täten ihmissilmälle näkymättömiä, voitiinkin saada aikaan sähkömagneettisten värähtelypiirien avulla. Maxwellin yhtälöistä juontunut valon vakioinen nopeus tyhjiössä oli myöhemmin Einsteinin suhteellisuusteorian peruspostulaatteja. Suhteellisuus­teorian mukaan Maxwellin yhtälöt pätevätkin sellaisenaan kaikissa inertiaali­järjestelmissä, eikä Maxwellin yhtälöihin siten tarvinnut tehdä lisäyksiä tai korjauksia suhteellisuusteorian myötä 1900-luvun alussa.

Maxwellin yhtälöt ovat siinä mielessä nykyaikaisen yhteiskunnan keskeistä pohjaa, että suuri osa sähkötekniikasta (sähkömoottorit, sähkön tuotanto, sähkön siirto, valokaapelit, radiot, lankapuhelin, tutkat jne.) perustuu sähkömagnetismiin, jota Maxwellin yhtälöt kuvaavat. Tosin usein sähkötekniikan sovelluksien mallintamiseen käytetään Maxwellin yhtälöiden kuvaaman sähkömagneettisen mallin tilannekohtaisia approksimaatioita, kuten esimerkiksi piiriteoriaa (Kirchhoffin piirilait). Tiedettä popularisoinut fyysikko Richard Feynman totesi kirjassaan Feynman Lectures on Physics, että tuhansien vuosien kuluttua tuskin on epäilystä, etteikö ihmiskunnan 1800-luvun merkittävin tapahtuma olisi ollut nämä Maxwellin löytämät sähködynamiikan, eli klassisen sähkömagnetismin lait.

Yhtälöt

Maxwellin yhtälöt voidaan esittää tarpeen mukaan joko differentiaali- tai integraalimuodossa.

Differentiaalimuoto

Differentiaalimuodossaan Maxwellin yhtälöt kuvaavat kuinka sähkömagneettiset vektorikentät vastaavat toisiaan pisteittäin. Kaksi ensimmäistä yhtälöä ovat Gaussin lait sähkö- ja magneettikentille, kolmas Faradayn induktiolaki ja viimeinen Ampère-Maxwellin laki. Differentiaalimuotoiset yhtälöt ovat

$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$,

missä

D on sähkövuon tiheys,

$\rho$ on varaustiheys,

B on magneettivuon tiheys,

E on sähkökentän voimakkuus,

H on magneettikentän voimakkuus,

J on sähkövirran tiheys.

Näissä merkintä $\nabla \cdot$ (nabla piste) tarkoittaa vektorifunktion divergenssiä eli lähteisyyttä (yksikkönä 1/m). Merkintä $\nabla \times$ (nabla risti) sen roottoria eli pyörteisyyttä (yksikkönä 1/m).

Integraalimuoto

Integraalimuodossa Maxwellin yhtälöt kuvaavat, miten sähkömagneettiset kentät riippuvat toisistaan, kun niitä integroidaan makroskooppisten kappaleiden yli. Integraalimuoto on erityisen hyödyllinen kenttien määrittämisessä, kun tutkittava geometria sallii symmetrioiden hyödyntämisen. Integraalimuotoiset Maxwellin yhtälöt ovat

$\oint _{\partial V}\mathbf {D} \cdot \mathbf {n} \ da=\int _{V}\rho \ dV\ \ \ \forall \ V$

$\oint _{\partial V}\mathbf {B} \cdot \mathbf {n} \ da=0\ \ \ \forall \ V$

$\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-{\partial \over \partial t}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathbf {n} \ da\ \ \ \forall \ S$

$\oint _{\partial S}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot \mathbf {n} \ da+{\partial \over \partial t}\int _{S}\mathbf {D} \cdot \mathbf {n} \ da\ \ \ \forall \ S$

missä D, $\rho$, B, E, H, J ovat kuten edellä ja

$\mathbf {S}$ on mielivaltainen pinta ja $\partial \mathbf {S}$ sen sulkeutuva reunakäyrä,

$\mathbf {V}$ on mielivaltainen tilavuus ja $\partial \mathbf {V}$ sen sulkeutuva reunapinta,

$\mathbf {n}$ on integroimispinnan ulkonormaali.

Kenttien riippuvuudet väliaineissa

Eri sähkömagneettiset kentät riippuvat toisistaan lineaarisessa väliaineessa seuraavasti:

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$

$\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E}$

$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$

missä:

$\varepsilon$ on väliaineen permittiivisyys, tyhjiössä $\varepsilon =\varepsilon _{0}$.

$\mu$ on väliaineen permeabiliteetti, tyhjiössä $\mu =\mu _{0}$

$\sigma$ on väliaineen johtavuus, tyhjiössä $\sigma =0$, ideaalijohteessa $\sigma =\infty$

Maxwellin yhtälöt tyhjiössä ja valonnopeus

Tyhjiössä Maxwellin yhtälöt kirjoitetaan muodossa

$\nabla \cdot \mathbf {E} =0$

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

$\nabla \times \mathbf {B} =\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$.

Tyhjiössä vuontiheyksien (D ja B) sekä kenttävoimakkuuksien (E ja H) suhteet ovat yleisiä luonnonvakioita: ${\frac {D}{E}}=\varepsilon _{0}$, sähkövakio, joka nykyisissä SI-yksiköissä on = 8,854 · 10^-12 As/Vm, ja vastaavasti ${\frac {B}{H}}=\mu _{0}$ = 1,2566 10^-6/ Vs/Am, magneettivakio. Maxwellin yhtälöistä seuraa, että tyhjiössä sähkömagneettiset aallot etenevät nopeudella

$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}\ .$

ja osoittautui, että näin laskettu nopeus, noin 3 · 10⁸ m/s, oli sama kuin valonnopeus.

Maxwellin yhtälöt ja magneettiset monopolit

Maxwellin yhtälöt on laadittu olettaen, että magneettisia monopoleja ei ole olemassa. Sellaisia ei ole myöhemminkään havaittu, mutta eräissä nykyisen hiukkasfysiikan teorioissa sellaisten olemassaoloa pidetään mahdollisena. Jos sellaisia löydetään, voidaan Maxwellin yhtälöihin kuitenkin melko luontevasti lisätä niiden edellyttämät termit. Tällöin yhtälöt saisivat alkuperäistä symmetrisemmän muodon.

Katso myös

Yksittäiset yhtälöt:

• Gaussin laki
• Gaussin laki magneettikentille
• Ampèren laki
• Faradayn induktiolaki

Muuta aiheeseen liittyvää:

• Lorentzin voima
• Tiede ja matematiikka
• Sähkömagnetismi
• Sähkömagnetismi suhteellisuusteoriassa
• Sähkömagneettinen säteily

Lähteet

Englanninkielinen lähde

I. S. Grant & W. R. Phillips: ”11.1”, Electromagnetism, 2. painos. Wiley, 2003. ISBN 0-471-92712-0 (englanniksi)

Kirjallisuutta

• Sihvola, Ari; Lindell, Ismo: Sähkömagneettinen kenttäteoria 2. Dynaamiset kentät. Helsinki: Otatieto, 2013.
• Lindell, Ismo: Sähkön pitkä historia, s. 181–208. (Luku 8. Sähkömagneettiset aallot") Helsinki: Otatieto, 2009. ISBN 978-951-672-358-0

Aiheesta muualla

• Tiedeykkönen: Moderni maailmamme perustuu sähkömagnetismiin ja Maxwellin yhtälöihin Yle Areena (audio)