Lebesguen–Stieltjesin integraali

Lebesguen–Stieltjesin integraali on integraali, jonka tunnistaa merkintätavasta

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$,

missä $f$ ja $g$ ovat funktioita. Sitä voidaan pitää yleistyksenä sekä Lebesguen integraalista että Riemannin–Stieltjesin integraalista. Lebesgue-Stieltjes-integraalilla on sovelluksia esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa, erityisesti stokastisten prosessien alalla.

Lebesgue-Stieltjes-integraalin muodollinen määrittely

Integraalina Lebesgue-Stieltjes-integraali on määriteltävissä tietyn numeroituvasti additiivisen positiivisen mitan suhteen. Tässä määritellään kyseinen mitta.

Olkoon $a,b\in \mathbb {R}$, $a<b$, funktio $g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ kasvava ja oikealta jatkuva sekä raja-arvo

$g(t-)=\lim _{s\rightarrow t-}g(s)=\lim _{s\uparrow t}g(s)$

kaikissa pisteissä $t\in [a,b]$ olemassa.

Olkoon $[\alpha ,\beta ]\subset [a,b]$. Määritellään joukkofunktio $m_{g}$ kaavalla $m_{g}((\alpha ,\beta ])=g(\beta )-g(\alpha )$. Tällöin $m_{g}$ on laajennettavissa numeroituvasti additiiviseksi positiiviseksi mitaksi, joka on määritelty kaikilla välin $[a,b]$ Borel-joukoilla. Samaistetaan jatkossa tämä mitta joukkofunktion $m_{g}$ kanssa.

Mitallisen funktion $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ Lebesgue-Stieltjes-integraali on sen integraali mitalla $m_{g}$, eli yli määrittelyjoukkonsa se on mittaintegraalina

$\int _{[a,b]}f\,dm_{g}$.

Sille käytetään kuitenkin merkintää

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$.

Funktiota $f$ kutsutaan integrandiksi ja funktiota $g$ integraattoriksi.

Lebesgue-Stieltjes-integraali laajennetaan vielä määritellyiksi integraattoreille, jotka ovat rajoitetusti heilahtelevia. Jos $g$ on rajoitetusti heilahteleva, on sille olemassa hajotelma $g=g_{1}-g_{2}$, missä $g_{1}$ ja $g_{2}$ ovat kasvavia funktioita $[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$. Tällöin määritellään

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x)$.

Lebesgue-Stieltjes-integraalille erityisiä ominaisuuksia

Lebesgue-Stieltjes-integraali on integraalin perusominaisuuksien mukaan automaattisesti lineaarikuvaus integrandinsa suhteen, mutta se on sitä myös integraattorinsa suhteen, toisin sanoen bilineaarinen:

$\int _{a}^{b}f(x)\,d(\alpha _{1}g_{1}(x)+\alpha _{2}g_{2}(x))=\alpha _{1}\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)+\alpha _{2}\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x)$.

Lebesgue-Stieltjes-integraalia voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista. Jos integraattori on identiteettifunktio, niin integraali supistuu funktion $f$ Riemannin integraaliksi yli välin $[a,b]$:

$\int _{a}^{b}f(x)\,d(Id(x))=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

olettaen, että $f$ on Riemann-integroituva.

Jos $g$ on derivoituva sekä $f$ ja $g'$ ovat Riemann-integroituvia, niin Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvon voi laskea Riemannin integraalina. Tällöin nimittäin pätee kaava

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx$.

Jos funktiolla $g$ on epäjatkuvuuskohta pisteessä $c\in [a,b]$ ja se on muualla derivoituva sekä muut edelliset oletukset pätevät, niin

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{c}f(x)g'(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)g'(x)\,dx+f(c)\left(\lim _{x\rightarrow c+}g(x)-\lim _{x\rightarrow c-}g(x)\right)$.

Yleisemmässä tapauksessa Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvot voi laskea numeerisesti. Jos $f$ on vasemmalta jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja rajoitettu, niin

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{n})(g(x_{i+1}^{n})-g(x_{i}^{n}))$,

missä $a=x_{1}^{n}<x_{2}^{n}<\ldots <x_{n}^{n}=b$ on tihentyvä jono välin $[a,b]$ jakoja, eli $\max\{x_{i+1}^{n}-x_{i}^{n}\,|\,i=1,\ldots ,n-1\}\rightarrow 0$, kun $n\rightarrow \infty$.

Katso myös

• Odotusarvo

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

• MathWorld. Lebesgue-Stieltjes Integral