Laplace-muunnos

Laplace-muunnos (Laplacen muunnos) on eräs yleisimmin käytetyistä integraalimuunnoksista. Muunnoksella on käytännön sovelluksia monilla fysiikan osa-alueilla, erityisesti elektroniikassa sekä matematiikassa todennäköisyyslaskennassa. Laplace-muunnosta voidaan käyttää myös differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisemiseen.

Mielivaltaisen funktion f(t), joka on määritelty kaikilla t>0, Laplace-muunnos määritellään integraalina:

$F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$,

missä $0-=\lim _{\epsilon \rightarrow +0}-\epsilon$. Joskus käytetään myös kaksipuolista muotoa:

${\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumentti $s$ on kompleksiluku: $s=\sigma _{1}+i\sigma _{2}$, missä $i$ on imaginääriyksikkö ja $\sigma _{1},\sigma _{2}\in \mathbb {R}$. Laplace-muunnoksen käänteismuunnos tunnetaan Bromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali:

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }e^{st}F(s)ds$

Laplace-muunnoksen ominaisuuksia

• Laplace-muunnos on selvästi lineaarinen:

${\mathcal {L}}\{af(t)+bg(t)\}=aF(s)+bG(s)$

• Kahden funktion konvoluution Laplace-muunnos:

${\mathcal {L}}\{f(t)*g(t)\}=F(s)G(s)$

• Signaalinkäsittelyssä käytännöllinen on alku- ja loppuarvoteoreema:

$\lim _{t\rightarrow 0}f(t)=\lim _{s\rightarrow \infty }sF(s)$

$\lim _{s\rightarrow 0}sF(s)=\lim _{t\rightarrow \infty }f(t)$

• Erityisen kiintoisa on funktion derivaatan Laplace-muunnos:

${\mathcal {L}}\{{\frac {df}{dt}}\}=s{\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0)$

Tämän ominaisuuden avulla differentiaaliyhtälö voidaan muuttaa algebralliseksi yhtälöksi, jonka ratkaiseminen on tyypillisesti paljon differentiaaliyhtälöä yksinkertaisempaa.

Yleensä on Laplace-muunnosta käytettäessä kätevää käyttää valmiita muunnoskaavoja, joita on taulukoitu erilaisille funktioille. Seuraavassa on keskeisimpiä:,

Funktio	Laplace-muunnos	Rajoitteet
1	${\frac {1}{s}}$	s>0
$e^{ax}$	${\frac {1}{s-a}}$	$s>\max\{a,0\}$
$x^{n}$	${\frac {n!}{s^{n+1}}}$	s>0
$\sin(ax)$	${\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}$	s>0
$\cos(ax)$	${\frac {s}{s^{2}+a^{2}}}$	s>0
$\sinh(ax)$	${\frac {a}{s^{2}-a^{2}}}$	s>0
$\cosh(ax)$	${\frac {s}{s^{2}-a^{2}}}$	s>0

Katso myös

• Fourier'n muunnos
• Mellinin muunnos

Kirjallisuutta

• Väisälä, Kalle: Matematiikka V: Laplace-muunnos. Espoo: Otakustantamo, 1980 (1965). ISBN 951-671-020-4
• Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: Signals and Systems, s. 1–957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9

Aiheesta muualla

• Laplace- ja Fourier-muunnoksia online (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)
• Luettelo funktioiden Laplace-muunnoksista ja käänteismuunnoksista (englanniksi)
• Toinen luettelo eri funktioiden Laplace-muunnoksista (englanniksi)