Mellinin muunnos

Mellinin muunnos on matematiikassa integraalimuunnos, joka voidaan tulkita multiplikatiivisena versiona kaksipuoleisesta Laplacen muunnoksesta. Tämä integraalimuunnos liittyy läheisesti Dirichlet'n sarjoihin, ja muunnosta käytetään paljon lukuteoriassa ja asymptoottisissa kehitelmissä. Mellinin muunnos liittyy läheisesti Laplacen- ja Fourier'n muunnoksiin sekä gammafunktioon.

Funktion f Mellinin muunnos on

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}f(x){\frac {dx}{x}},$

mikäli integraali on olemassa. Sen käänteismuunnos on

$\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)ds.$

Merkintätavasta seuraa, että tämä on viivaintegraali pystysuoraan kompleksitasossa. Ehdon käänteismuunnoksen olemassaololle antaa Mellinin inversiolause.

Muunnos on nimetty suomalaisen matemaatikon Robert Hjalmar Mellinin (1854–1933) mukaan.

Suhde muihin muunnoksiin

Kaksipuolinen Laplacen muunnos voidaan määritellä Mellinin muunnoksen avulla:

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)$

ja toisaalta Mellinin muunnos voidaan määritellä kaksipuolisen Laplacen muunnoksen avulla asettamalla

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)$

Mellinin muunnos voidaan ajatella integroimalla x^s:n ydintä ${\frac {dx}{x}}$ multiplikatiivisen Haarin mitan suhteen, joka on invariantti dilaation $x\mapsto ax$ suhteen, jolloin ${\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}}$. Tämä kaksipuolinen Laplacen muunnos integroidaan additiivisen Haarin mitan $dx$ suhteen, joka on translaatioinvariantti, joten $d(x+a)=dx$.

Fourier'n muunnos voidaan myös määritellä Mellinin muunnoksen avulla ja päinvastoin: määrittelemällä kaksipuolinen Laplacen munnos kuten yllä saadaan

$\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(is),$

jolloin

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)$

Mellinin muunnos yhdistää Newtonin sarjan ja binomimuunnoksen toisiinsa yhdessä Poissonin generoivan funktion kanssa. Tämä tunnetaan nimellä Poissonin–Mellinin–Newtonin sykli.

Cahenin-Mellinin integraali

Kun $c>0$, $\Re (y)>0$ ja $y^{-s}$ on valittu päähaarasta, on

$e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds$

Missä $\Gamma (s)$ on gammafunktio. Tämä integraali tunnetaan nimellä Cahenin–Mellinin integraali.

Lähteet

• Paris, R. B., ja Kaminsky, D., Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001.
• A. D. Polyanin ja A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
• Taulukko integraalimuunnoksista EqWorldissä: The World of Mathematical Equations.

Kirjallisuutta

• Väisälä, Kalle: Matematiikka V: Laplace-muunnos. Espoo: Otakustantamo, 1980 (1965). ISBN 951-671-020-4