Kuutiojuuri
Luvun x kuutiojuuri (merkitään tai x1/3) on luku a niin, että a korotettuna kolmanteen potenssiin on x. Esimerkiksi luvun kuutiojuuri on
sillä
Kuutioluku on kokonaisluku, jonka kuutiojuuri on myös kokonaisluku.
Geometrisia sovelluksia
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Jos kuution tilavuus V tunnetaan, kuution särmän pituus on tämän tilavuuden kuutiojuuri,
- .
Kompleksiluvun kuutiojuuri
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Kuutiojuuren käsite voidaan yleistää myös kompleksiluvuille. Jokaista kompleksilukua x + yi kohti, nollaa lukuun ottamatta, on kolme sellaista kompleksilukua u + vi, joiden kuutio on x + yi. Esimerkiksi kompleksiluvun 1 (=1 + 0i) kuutiojuuret ovat , ja . Kuutiojuuren pääarvoksi sanotaan sitä juurta, jolla on itseisarvoltaan pienin argumentti.[1]
Useimmissa tapauksissa kompleksiluvun x+yi kuutiojuuren arvojen reaali- ja imaginaariosia u ja v ei kuitenkaan voida esittää x:n ja y:n algebrallisena lausekkeena. Sen sijaan ne voidaan määrittää trigonometristen funktioiden ja De Moivren kaavan avulla.
Tämä perustuu siihen, että kompleksiluku voidaan esittää myös napakoordinaateissa, sen itseisarvon (moduulin, r) ja vaihekulman (argumentin, ) avulla:
- ,
missä
- ja
- .[2]
Geometrisesti kompleksiluvun moduuli merkitsee sen kompleksitasolla olevan vastinpisteen etäisyyttä origosta, argumentti taas origosta kyseiseen pisteeseen johtavan suoran ja reaaliakselin (x-akselin) välistä kulmaa.
De Moivren kaavan mukaan
- ,
ja erityisesti
josta saadaan kääntäen:
Toisin sanoen kompleksiluvun kuutiojuuren moduuli on alkuperäisen kompleksiluvun x + bi moduulista ja argumentti kolmasosa alkuperäisen kompleksiluvun argumentista. Näin saadaan kuutiojuuren pääarvo. Kun kompleksiluvun argumenttiin kuitenkin voidaan lisätä tai vähentää mikä tahansa 2:n monikerta tahansa kompleksiluvun arvon pysyessä ennallaan, on kaksi muutakin kompleksilukua, joiden kuutio on sama, nimittäin: ja
Näin saadaan kompleksiluvun x + yi kuutiojuurille lausekkeet:
- ,
- ja
- .
Katso myös
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ Simo K. Kivelä: ”Kompleksiluvun juuret”, Kompleksiluvut, s. 8. Määritä julkaisija! Teoksen verkkoversio.
- ↑ Olli Lehto: ”Kompleksiluvut: Itseisarvo ja argumentti”, Funktioteoria 1 ja 2, s. 7. Limes ry, 1980. ISBN 951-745-077-X