Korkeasti yhdistetty luku

Korkeasti yhdistetty luku on positiivinen kokonaisluku, jolla on enemmän tekijöitä kuin millään sitä pienemmällä positiivisella kokonaisluvulla. Ensimmäisiä korkeasti yhdistettyjä lukuja ovat 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560 ja 10080.

Kaikki lukua 6 suuremmat korkeasti yhdistetyt luvut ovat myös runsaita lukuja. Kaikki korkeasti yhdistetyt luvut ovat myös Harshad-lukuja kymmenjärjestelmässä.

Korkeasti yhdistettyjä lukuja on ääretön määrä, mikä on helppo todistaa seuraavasti: Oletetaan, että on olemassa jokin n, joka on suurin korkeasti yhdistetty luku. Tarkastellaan lukua 2n. Luku 2n on itsensä jakaja ja sen jakajia ovat myös kaikki luvun n jakajat, joten sillä on ainakin yksi jakaja enemmän. Niinpä ei voi olla olemassa suurinta korkeasti yhdistettyä lukua n.

Korkeasti yhdistettyjen lukujen määrälle on olemassa seuraava epäyhtälö:

Olkoon Q(x) niiden korkeasti yhdistettyjen lukujen määrä, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin x. Silloin on olemassa vakiot a ja b, molemmat suurempia kuin 1, siten että

$(\ln x)^{a}\leq Q(x)\leq (\ln x)^{b}.$

Ensimmäisen osan epäyhtälöstä todisti Paul Erdős vuonna 1944 ja toisen osan J.-L. Nicolas vuonna 1988.

Seuraavat yhtälöt pätevät myös:

$1.13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.44\$

ja

$\limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.71\ .$

Katso myös

• Yhdistetty luku
• Erittäin korkeasti yhdistetty luku