Hippokrateen puolikuut

Kuvassa punaisten "puolikuiden" pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin tasasivuisen kolmion

.

Hippokrateen puolikuut eli Alhazenin puolikuut ovat kuunsirpin muotoiset alueet, jotka jäävät suora­kulmaisen kolmion hypotenuusa halkaisijana piirretyn puoliympyrän ulkopuolelle mutta sisältyvät jompikumpi kateetti halkaisijana piirrettyyn puoliympyrään, kun tällaisen kolmion jokainen sivu halkaisijana piirretään ympyrä. Näiden alueiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin suora­kulmaisen kolmion pinta-ala.

Tämä voidaan todistaa seuraavasti: Ensinnäkin käänteisestä Thaleen lauseesta seuraa, että hypotenuusa halkaisijana piirretty ympyrä todella kulkee suoran kulman kärjen kautta. Merkitään kateettien pituuksia a:lla ja b:llä, ja hypotenuusan pituutta c:llä. Suora­kulmaisen kolmion pinta-ala on tällöin ${\frac {ab}{2}}$, ja koska kateettien puolikkaiden pituudet ovat ${\frac {a}{2}}$ ja ${\frac {b}{2}}$, ovat nämä puolikkaat säteinä (eli kateetit halkaisijana) piirrettyjen puoli­ympyröiden pinta-alat $\pi {\frac {a^{2}}{8}}$ ja $\pi {\frac {a^{2}}{8}}$. Alue, jonka muodostavat nämä puoliympyrät ja kolmio yhdessä, on siis pinta-alaltaan ${\frac {ab}{2}}+\pi {\frac {a^{2}+b^{2}}{8}}$. Hippo­krateen puoli­kuiden pinta-ala saadaan vähentämällä tästä hypotenuusalle piiretyn puoli­ympyrän pinta-ala, joka on $\pi {\frac {c^{2}}{8}}$. Koska Pythagoraan lauseen mukaan $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, seuraa tästä, että näiden puolikuiden yhteen­laskettu pinta-ala on ${\frac {ab}{2}}$, siis yhtä suuri kuin kolmion pinta-ala.

Hippokrateen puolikuu. Tummennetun alueen pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmion ABC.

Siinä erikois­tapauksessa, että kyseessä on tasa­kylkinen suora­kulmainen kolmio, molemmat kuun­sirpin muotoiset alueet ovat yhtenevät ja niin ollen pinta-alaltaan yhtä suuret. Suoran kulman puolittaja jakaa tällaisen kolmion kahteen keskenään yhtenevään kolmioon, jotka myös ovat tasa­kylkisiä suora­kulmaisia kolmioita: alkuperäisen kolmion kateetit ovat näiden kolmioiden hypo­tenuusoina ja alku­peräisen kolmion hypo­tenuusan puolikkaat niiden toisina kateetteina. Tästä seuraa, että tällaisen kolmion hypo­tenuusalle (oheisessa kuvassa AB) piirretystä ympyrästä se osa, joka jää toinen kateetti (AO) säteenä piirretyn ympyrän ulko­puolelle, on yhtä suuri kuin suora­kulmaisen kolmion.

Historia

Hippokrateen puolikuut ovat saaneet nimensä kreikkalaisen matemaatikko Hippo­krates Khioslaisen (n. 470–410 eKr.) mukaan, joka todisti edellä esitetyn, niiden pinta-alaa koskevan tuloksen. Todistus liittyi hänen yritykseensä ratkaista kysymys ympyrän neliöimisestä, toisin sanoen siitä, onko harpin ja viivoittimen avulla mahdollista piirtää neliö, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin annetun ympyrän. Tämä Hippokrateen puolikuu oli ensimmäinen kaarevien käyrien rajoittama alue, joka voitiin täten neliöidä. Tulos herätti toivoa siitä, että harpin ja viivoittimen avulla voitaisiin vastaavasti neliöidä myös ympyrä. Siinä ei kuitenkaan onnistuttu, mutta mutta vasta vuonna 1882 Ferdinand von Lindemann osoitti, että tehtävä on mahdoton ratkaista, koska pii (π) on transkendenttinen luku.

Ympyrän pinta-alan lauseketta $A=\pi r^{2}$ ei Hippokrateen aikana vielä tunnettu. Myöhemmin Eudoksos todisti kehittämällään ekshaustiomenetelmällä, että ympyrän pinta-ala on suoraan verrannollinen sen säteen neliöön. Eudoksos kuitenkin syntyi vasta muutamia vuosia Hippokrateen kuoeman jälkeen. Hippokrateen teokset eivät ole säilyneet, mutta puolikuut ja niitä koskeva lause mainitaan Eudemoksen teoksessa, jossa mainittua verrannolli­suutta käytetään puolikuita koskevan tuloksen todistamiseen. Tästä onkin päätelty, että jo Hippokrateeen on täytynyt kehittää jonkinlainen versio ekshaustio­menetelmästä.

Hippokrateen puolikuut ja niiden pinta-alaa koskevan tuloksen mainitsi myöhemmin eräässä teoksesaan arabialainen matemaatikko Abu al-Hasan ibn al-Haitham (965–1040), joka länsimaissa tunnetaan myös nimellä Alhazen. Hänen mukaansa niitä nimitetäänkin toisinaan myös Alhazenin puolikuiksi..