Hessen matriisi

Hessen matriisi (joskus myös virheellisesti Hessin matriisi) on olennaisesti reaaliarvoisen funktion toinen derivaatta. Yhden muuttujan funktiolle asia on yksinkertainen ja Hessen matriisi onkin oikeastaan vain skalaariarvoinen funktio. Jos funktiolla $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ on olemassa kaikki toisen kertaluvun derivaatat, niin f:n Hessen matriisi on

$\nabla ^{2}f=H={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$

Hessen matriisin definiittisyys on monella tapaa kiinnostava. Sen avulla voidaan tarkastella f:n paikallisten ääriarvojen luonnetta. Jos H on positiivisesti definiitti niin silloin f:n ääriarvo on paikallinen minimi. Vastaavasti, jos H on negatiivisesti definiitti niin silloin f:n ääriarvo onkin paikallinen maksimi. Kahden muuttujan tapauksessa voidaan laskea Hessen matriisin determinantti, mikä olennaisesti on ominaisarvojen tulo. Jos determinantti on positiivinen, on molemmat ominaisarvot joko negatiivisia tai positiivisia, jolloin kyseessä on paikallinen minimi tai maksimi. Vastaavasti, jos determinantti on negatiivinen ovat ominaisarvot eri merkkiset ja kyseessä on satulapiste. Jos determinantti on nolla, testi ei kerro mitään kyseisestä pisteestä.

Huomionarvoista on, että siinä tilanteessa, että funktiolla f on jatkuvat toisen kertaluvun osittaisderivaatat, niin Hessen matriisi on symmetrinen. Toisaalta Hessen matriisi on aina neliömatriisi. Kolmanneksi jos f:llä on jatkuvat toisen kertaluvun osittaisderivaatat, niin on olemassa toisen asteen numeerinen approksimaatio:

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+\nabla f(x_{0})\cdot h+{\tfrac {1}{2}}h^{T}H(x_{0})h+\epsilon (h)\cdot ||h||^{2}$

Tässä pätee vielä, että $\epsilon (h)$ lähenee nollaa h:n lähetessä nollaa. Siis määritelmän mukaan arvio on f:n toisen asteen approksimaatio. Tämän approksimaation avulla voimme todistaa paikallisia ääriarvoja koskevia lauseita.

Hessen matriisi on saanut nimensä saksalaisen matemaatikon Otto Hessen (1811–1874) mukaan.