Galois’n laajennus

Kuntateoriassa Galois’n laajennus on algebrallinen laajennus E/F, joka toteuttaa tiettyjä ominaisuuksia. Voidaan myös sanoa lyhyemmin, että laajennus on Galois. Galois’n laajennuksen merkittävyys käy ilmi siitä, että laajennuksella on Galois’n ryhmä ja se toteuttaa Galois’n teorian peruslauseen.

Galois'n laajennuksen määritelmä on seuraava: kuntalaajennus E/F on Galois, jos automorfismien ryhmän Aut(E/F) kiintokunta on sama kuin kunta F.

Emil Artinin tuloksen perusteella Galois’n laajennus voidaan konstruoida seuraavasti: Olkoon E on annettu kunta, G on äärellinen ryhmä E:n automorfismeja ja F on G:n kiintokunta. Tällöin E/F on E:n Galois’n laajennus.

Galois’n laajennusten karakterisointi

Tärkeä Emil Artinin tulos on seuraava: Äärellinen laajennus E/F on Galois, jos ja vain jos jokin seuraavista on voimassa

• E/F on normaali laajennus ja separoituva laajennus.
• E on separoituvan polynomin juurikunta, jonka kertoimet kuuluvat F:ään.
• [E:F] = |Aut(E/F)| eli kuntalaajennuksen aste on sama kuin E/F:n automorfismien muodostaman ryhmän aste.