Alkeisfunktio

Alkeisfunktio on mikä tahansa yhden muuttujan funktio, joka voidaan muodostaa käyttämällä äärellinen määrä aritmeettisia alkeisoperaatioita (yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku), potenssiin korottamalla, funktion- tai käänteisfunktion otolla (funktiot lueteltu alla), yhdistämällä funktioita, aloittamalla vakioista, muuttujista tai muista perusalkeisfunktioista tai jatkamalla jo näin muodostetuista alkeisfunktioista. Alkeisfunktioiden derivaattafunktiot ovat aina alkeisfunktioita, mutta niiden integraalifunktiot eivät aina ole niitä. Silloin on kyse erikoisfunktioista, jotka eivät ole muodostettavissa pelkästään alkeisfunktioiden avulla edellä kerrotulla tavalla.

Perusalkeisfunktioita

Yleisimmin käytettyjä perusalkeisfunktioita ovat

• potenssifunktiot, sillä ne ovat vakioiden ja muuttujien tuloja.
• polynomifunktiot, sillä ne ovat potenssifunktioiden summia.
• rationaalifunktiot, sillä ne muodostetaan kahden polynomifunktion osamääränä.
• juurifunktiot, sillä ne ovat yleensä potenssi-, polynomifunktioiden tai näiden yhdistettyjen funktioiden käänteisfunktioita tai erikoistapauksia.
• eksponenttifunktiot, sillä ne ovat vakioiden tulojen ja potenssiinkorotuksilla muodostettuja.
• logaritmifunktiot, sillä ne ovat eksponenttifunktioiden käänteisfunktioita.
• trigonometriset funktiot, sillä niillä kytketään kulmasuureet erityisiin pituusmittoihin yksinkertaisella tavalla.
• arkusfunktiot, sillä ne ovat trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita.
• hyperboliset funktiot, sillä ne on muodostettu eksponenttifunktioiden avulla.
• areafunktiot, sillä ne ovat hyberbolisten funktioiden käänteisfunktioita.

Määritelmään sisältyvä looginen rakenne

Potenssifunktiot syntyvät määritelmän mukaisesti keromalla äärellinen määrä pelkästään vakioita ja muuttujia keskenään. Jos kaikki muuttujat tarkoittavat samaa lukua $x\!$, saadaan $xxxx\dots x=x^{n}$. Kaikki vakiot voidaan kertolaskussa sieventää yhdeksi luvuksi, jolla kerrotaan potenssi $x^{n}\!$. Kun eksponentti n on negatiivinen kokonaisluku, muuttuvat potenssifunktiot myös rationaalifunktioiksi. Kun eksponentti n on yksikkömurtoluku (rationaaliluku), muuttuu potenssifunktio juurifunktioksi. Kun eksponentti n on reaaliluku, saadaan vielä uudentyyppisiä alkeisfunktioita, joilla ei ole muissa funktioluokissa vastineita. Potenssifunktioiden käänteisfunktiot ovat aina myös potenssifunktioita.

Polynomifunktiot muodostetaan laskemalla yhteen eri potenssifunktioita, joilla on eksponentteina luonnolliset luvut, esimerkiksi $3x^{4}-2x^{2}+2x+4$. Polynomifunktioita voidaan myös muodostaa yhdistämällä potenssi- ja polynomifunktioita vapaasti eri tavoilla. Sallimalla yhdistettävissä potenssifunktioiden eksponenteissa negatiiviset kokonaisluvut, saadaan rationaalifunktioita, ja sallimalla eksponenteissa rationaaliluvut, saadaan erityyppisiä juurifunktioiden yhdistettyjä muotoja.

Rationaalifunktiot saadaan yksinkertaisimmin jakamalla kaksi polynomia keskenään. Kuten edellä havaittiin, voidaan rationaalifunktioon päätyä monin eri tavoin muutenkin.

Juurifunktiot muodostetaan korottamalla muuttuja $x\!$ yksikkömurtopotenssiin, mutta se merkitään yleensä perinteisesti juurimerkinnällä. Yhdistämällä juurifunktio polynomifunktiolla tai rationaalifunktiolla, saadaan edellä esiteltyjä juurifunktion muotoja. Joistakin juurifunktioiden yhdistelmäfunktioista saadaan myös olla yhdistettyjen potenssifunktioiden käänteisfunktioita.

Kuten edellisestä huomataan, ovat polynomifunktiot, rationaalifunktiot ja juurifunktiot kytköksissä potenssifunktioiden ominaisuuksiin. Alkeisfunktioita voidaan määritellä muillakin tavoilla.

Eksponenttifunktiot saadaan, kun potenssimerkinnässä kiinteä kantaluku korotetaan potenssiin, joka on muuttuja. Eksponenttifunktioiden käänteiskuvaukset antavat logaritmifunktiot.

Trigonometriset funktiot saadaan yksikköympyrän avulla trigonometrian perusmääritelmästä, jossa keskuskulman ja tietyn janan pituus esitetään kulman funktiona. Trigonometristen funktioiden käänteiskuvaukset antavat niin sanotut arcusfunktiot.

Hyperboliset funktiot voidaan määritellä eksponenttifunktioiden avulla, joiden kantalukuna on Neperin luku. Niin sanotut areafunktiot ovat hyperbolisten funktioiden käänteiskuvauksena saatuja funktioita.

Lähteet

• Wolfram Research: Luettelo alkeisfunktioiden ominaisuuksista

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Aiheesta muualla

• Tietoa alkeisfunktioista englanniksi Wolframin funktioita käsittelevällä sivustolla