Areafunktiot

Yksikköhyperbelin $\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1$ pisteeseen $\scriptstyle (\cosh {a},\sinh {a})$ piirretty säde. Tällöin $\scriptstyle a$ on kaksi kertaa tämän säteen, hyperbelin ja $\scriptstyle x$-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala

Areafunktioiden kuvaajat

Areafunktiot ovat matematiikassa hyperbolisten funktioiden käänteisfunktioita.

Nimitys areafunktio johtuu pinta-alaa tarkoittavaan latinan sanasta area (joka on lainattu myös ainakin englantiin) sekä näiden funktioiden yhteydestä yksikköhyperbeliin $x^{2}-y^{2}=1$ liittyvien hyperbolisten sektorien pinta-aloihin. Mainitulla hyperbelillä on nimittäin parametriesitys

$x=\cosh {t}$

$y=\sinh {t}$

Sen alueen, hyperbolisen sektorin pinta-ala, jota rajoittavat origosta pisteisiin (1, 0) ja (x, y) = cosh(t), sinh(t)) piirretyt janat ja mainitun hyperbelin kaari (oheisessa kuviossa punaisella merkitty alue), on nimittäin t/2 Tätä voidaan verrata yksikköympyrään $x^{2}+y^{2}=1$, jolla on samankaltainen parametriesitys:

$x=\cos {t}$

$y=\sin {t}$,

missä parametri t ilmoittaa samalla origosta pisteisiin (0,1) ja (cost, sin t) piirrettyjen janojen välisen kulman (radiaaneina). Näiden janojen ja ympyrän kehän välisen sektorin pinta-ala on tällöin t/2. Tämän analogian vuoksi edellä mainittua hyperbeliin liittyvää parametria t nimitetään myös hyperboliseksi kulmaksi. (On kuitenkin huomattava, että nimestään huolimatta hyperbolinen kulma ei ole yhtä suuri kuin origosta pisteisiin (1, 0) ja (cosh t, sinh t) piirrettyjen janojen välinen kulma eikä siihen suoraan verrannollinen.)

Nimet ja merkinnät

Areafunktioiden nimet muodostetaan lisäämällä vastaavien hyperbolisten funktioiden nimien eteen sana area-. Täten esimerkiksi hyperbolisen sinin eli hyperbelisinin käänteisfunktio on areahyperbelisini ja hyperbolisen kosinin eli hyperbelikosinin käänteisfunktio areahyperbelikosini. Myös nimityksiä areasini ja areakosini, sekä muiden funktioiden vastaavia nimityksiä, käytetään.

ISO 80000-2-standardin mukainen merkintä areafunktioille alkaa etuliitteellä ar-, jonka jälkeen seuraa vastaavan hyperbolisen funktion lyhenne. Täten funktioiden lyhenteet ja nimet ovat:

• arsinh (x), areahyperbelisini (lat. area sinus hyperbolicus)
• arcosh (x), areahyperbelikosini (lat. area cosinus hyperbolicus)
• artanh (x), areahyperbelitangentti (lat. area tangens hyperbolicus)
• arcoth (x), areahyperbelikotangentti (lat. area cotangens hyperbolicus)
• arsech (x), areahyperbelisekantti (lat. area secans hyperbolicus)
• arcosech (x), areahyperbelikosekantti (lat. area cosecans hyperbolicus).

Joskus näkee käytettävän myös etuliitettä arc-, jota seuraa vastaavan hyperbolisen funktion nimi (esim. arcsinh, arccosh), samaan tapaan kuin tätä etuliitettä käytetään trigonometristen funktioiden käänteisfunktiolle eli arcusfunktioille. Tätä on kuitenkin pidettävä virheellisenä, sillä arc on lyhenne latinan sanasta arcus, joka merkitsee kaarta, mutta toisin kuin arkusfunktiot, eivät areafunktiot suoranaisesti liity mihinkään kaareen, sen sijaan kylläkin tietyn alueen pinta-alaan (latinaksi ja myös englanniksi area), mihin myös nimitys areafunktio ja lyhenne ar- viittaavat.

Joissakin teoksissa käytetään merkintää argsinh, argcosh, argtanh ja niin edelleen. Näissä etuliite arg on lyhenne latinan sanasta argumentum. Monissa ohjelmointikielissä käytetään lyhempiä merkintöjä asihn ja acosh.

Areafunktioille voidaan käyttää myös merkintöjä sinh⁻¹(x), cosh⁻¹(x) jne. Tämä vastaa käänteisfunktioille yleisemminkin käytettyä merkintää f^-1(x). Tällöin on kuitenkin oltava tarkkana, ettei yläindeksiä -1 virheellisesti tulkita potenssiksi, sillä esimerkiksi sinh^-1(x) eli arsinh(x) ei ole sama asia kuin sinh(x)^-1 eli 1/sinh(x).

Määritelmät logaritmien avulla

Koska hyperboliset funktiot ovat e^x rationaalifunktioita, joiden osoittajat ja nimittäjät ovat enintään toista astetta, voidaan areafunktiolle toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla johtaa lausekkeet, joilla ne voidaan esittää luonnollisen logaritmifunktion avulla. Tällöin saadaan:

${\begin{aligned}&{\text{Areahyperbelisini:}}\quad &\operatorname {arsinh} x=\log(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\,)\\[1ex]&{\text{Areahyperbelikosini:}}\quad &\operatorname {arcosh} x=\log(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\,)\\[1ex]&{\text{Areahyperbelitangentti:}}\quad &\operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)\\[1ex]&{\text{Areahyperberlikotangentti:}}\quad &\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\\[1ex]&{\text{Areahyperberlikosekantti:}}\quad &\operatorname {arcsch} x=\log \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)\\[1ex]&{\text{Areahyperbelisekantti:}}\quad &\operatorname {arsech} x=\log \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)\end{aligned}}$

Reaalisilla x:n arvoilla nämä ovat reaaliarvoisia funktioita, jotka on määritelty, kun näissä lausekkeissa esiintyvän logaritmin argumentti on positiivinen reaaliluku. Näin ollen:

• arsinh(x) on määritelty koko reaaliakselilla $\mathbb {R}$
• arcosh(x) on määritelty puolisuoralla [1, +∞)
• artahn(x) on määritelty avoimella välillä (-1, 1)
• arcoth(x) on määritelty väleillä (−∞, -1) ja (1, +∞)
• arcosech(x) on määritelty koko reaaliakselilla lukuun ottamatta arvoa 'x=0, ja
• arsech(x) on määritelty puoliavoimella välillä (0, 1].

Todetaan, että areahyperbelikotangenttia ja areahyperbelikosekanttia lukuun ottamatta nämä määrittelyjoukot ovat yhtenäisiä.

Kompleksialueella neliöjuuri ja logaritmi sekä näin ollen myös niiden avulla määritellyt areafunktiot ovat moniarvoisia funktioita.

Lausekkeiden johto ja huomautuksia

Areahyperbelisini

Hyperbolinen sini on määritelty yhtälöllä

$\sinh {x}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

Tämän käänteisfunktiona areahyperbelisini saadaan ratkaisemalla y yhtälöstä

$x={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}$.

Kertomalla yhtälö puolittain $2e^{y}$:llä saadaan

$2xe^{y}=e^{2y}-1$, josta edelleen

$(e^{y})^{2}-2xe^{y}-1=0$.

Tätä voidaan käsitellä toisen asteen yhtälönä, jossa tuntemattomana on $e^{y}$. Tällaisen yhtälön ratkaisut ovat:

$e^{y}=x\pm {\sqrt {x^{2}+1}}$

Toinen näistä ratkaisuista, $e^{y}=x-{\sqrt {x^{2}+1}}$, on kuitenkin hylättävä, sillä se on kaikilla x:n arvoilla negatiivinen, kun taas eksponenttifunktion arvo on aina positiivinen. Näin ollen kysymykseen tulee vain arvo

$e^{y}=x+{\sqrt {x^{2}+1}}$,

ja areahyperbelisinin lausekkeeksi saadaan tämän logaritmi eli

$\operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$

Tämä on määritelty kaikilla reaalilukuarvoilla.

Areahyperbelikosini

Hyperbolinen kosini on määritelty yhtälöllä

$\cosh {x}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

Toisin kuin areahyperbelisini, tämä funktio ei ole bijektio, vaan se saa argumentin arvoilla x ja -x saman arvon, joka on aina suurempi tai yhtä suuri kuin yksi. Sen vuoksi areahyperbelikosinia ei määritellä koko funktion cosh(x) vaan sen rajoittuman käänteisfunktiona, missä x > 0.

Samaan tapaan kuin edellä saadaan sen areahyperbelikosinille lauseke ratkaisemalla y yhtälöstä

$x={\frac {e^{y}+e^{y}}{2}}$.

Kertomalla yhtälö puolittain $2e^{y}$:llä saadaan

$2xe^{y}=e^{2y}+1$, josta edelleen

$(e^{y})^{2}-2xe^{y}+1=0$,

ja ratkaisemalla $e^{y}$ tästä toisen asteen yhtälöstä saadaan

$e^{y}=x\pm {\sqrt {(}}x^{2}-1)$

$\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$

Tämä on määritelty, kun x >= 1.

Areahyperbelisekantti

Hyperbolisen kosinin tavoin areahyperbelisekantti eli funktio asech(x) = 1/cosh(x) saa argumentin arvoilla x ja -x saman arvon. Sen vuoksi areahyperbelisekantti (lat. area secans hyperbolicus) määritellään tämän funktion rajoittuman x>0 käänteisfunktiona. Sille voidaan johtaa lauseke

$\operatorname {arsech} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)$

Tämän määrittelyjoukko on puoliavoin väli (0, 1].

Yhteenlaskukaavat

Areafunktioille on voimassa seuraavat yhteenlaskukaavat, jotka voidaan todistaa edellä esitettyjen, logaritmiin perustuvien määritelmien ja logaritmien laskusääntöjen avulla:

$\operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)$

$\operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)$

$\operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)$

$\operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}}\right)$

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}$

Muita muunnoskaavoja

Areafunktioille ovat voimassa myös seuraavat muunnoskaavat:

${\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ kun }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ kun }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)&\quad {\hbox{ kun }}x\geq 0\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ kun }}x\geq 0\end{aligned}}$

$\ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)$

$\ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)$

$\operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)$

$\operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)$

$\operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|$

Hyperbolisten ja areafunktioiden yhdistetyt funktiot

${\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{kun}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{kun}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{kun}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{kun}}\quad |x|>1\end{aligned}}$

Area- ja trigonometristen funktioiden yhdistetyt funktiot

$\operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)$

$\ln \left(\left|\tan \alpha \right|\right)=-\operatorname {artanh} \left(\cos 2\alpha \right)$

Derivaatat

Areafunktioiden derivaatat ovat seuraavat:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ kaikilla reaaliarvoilla }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ kaikilla reaaliarvoilla }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ kun }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ kun }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ kun }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ kun }}x\neq 0\\\end{aligned}}$

Esimerkkinä differentoinnista: olkoon θ = arsinh x, jolloin (kun sinh² θ = (sinh θ)²):

${\frac {d\,\operatorname {arsinh} x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.$

Sarjakehitelmät

Derivaattojen avulla voidaan areafunktioille johtaa seuraavat Taylorin sarjakehitelmät:

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\text{, kun }}\left|x\right|<1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln(2x)+{\frac {1}{2\cdot 2x^{2}}}-{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 4x^{4}}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 6x^{6}}}-\cdots \\&=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}{\text{, kun }}x<-1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=-\ln(-2x)-{\frac {1}{2\cdot 2x^{2}}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 4x^{4}}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 6x^{6}}}+\cdots \\&=-\ln(-2x)-\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}{\text{, kun }}x<-1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}$

Integraalifunktiot

Areafunktioiden integraalifunktio ovat:

$$\int \operatorname {arsinh} (ax)\,dx=x\operatorname {arsinh} (ax)-{\frac {\sqrt {a^{2}x^{2}+1}}{a}}+C$$

$$\int \operatorname {arcosh} (ax)\,dx=x\operatorname {arcosh} (ax)-{\frac {{\sqrt {ax+1}}{\sqrt {ax-1}}}{a}}+C$$

$$\int \operatorname {artanh} (ax)\,dx=x\operatorname {artanh} (ax)+{\frac {\ln \left(1-a^{2}x^{2}\right)}{2a}}+C$$

$$\int \operatorname {arcoth} (ax)\,dx=x\operatorname {arcoth} (ax)+{\frac {\ln \left(a^{2}x^{2}-1\right)}{2a}}+C$$

$$\int \operatorname {arsech} (ax)\,dx=x\operatorname {arsech} (ax)-{\frac {2}{a}}\operatorname {arctan} {\sqrt {\frac {1-ax}{1+ax}}}+C$$

$$\int \operatorname {arcsch} (ax)\,dx=x\operatorname {arcsch} (ax)+{\frac {1}{a}}\operatorname {arcoth} {\sqrt {{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}+1}}+C$$

Areafunktioiden päähaara kompleksitasolla

Kompleksimuuttujan funktiona areafunktiot ovat moniarvoisia funktiota, jotka ovat analyyttisia muualla paitsi äärellisessä määrässä pisteitä. Tämän­laatuisille funktiolle määritellään yleensä päähaara, toisin sanoen sellainen jatkuva yksi­arvoinen funktio, joka arvot ovat samat kuin moni­arvoisen funktion yhden haaran arvot sellaisella kompleksitason alueella, joka saadaan, kun tasosta poistetaan äärellinen määrä kaaria, tavallisimmin janoja tai puoli­­suoria. Sen valitsemiseksi, mikä näistä moniarvoisen funktion arvoista katsotaan pääarvoksi eli päähaaran arvoksi, määritellään tämä ensin yhdessä pisteessä ja jatkamalla tämän pisteen ympäristössä funktiota analyyttisesti. Mahdollisuuksien mukaan päähaara on kuitenkin parasta määritellä suoraa, viittaamatta analyyttisen jatkamiseen.

Esimerkiksi neliö­juuren ${\sqrt {x}}$ päähaaran arvoksi määritellään yhtälön $y^{2}=x$ ratkaisuista (y) se, se, jolla on positiivinen reaaliosa. Näin saadaan yksiarvoinen analyyttinen funktio, joka on määritelty kaikkialla paitsi muuttujan negatiivisilla reaaliarvoilla (jolloin yhtälön molempien ratkaisujen reaaliosat ovat nollia). Jäljempänä merkinnällä ${\sqrt {x}}$ tarkoitetaankin nimenomaan tätä päähaaran arvoa. Samaan tapaan logaritmin päähaaran arvoksi, jolle käytetään merkintää $\operatorname {Log}$, määritellään se yhtälön $e^{x}=y$ ratkaisu x, jonka imaginaariosan itseisarvo on pienin. Tällöin se on määritelty kaikkialla paitsi muuttujan ei-negatiivisilla reaaliarvoilla, jolloin kahdella tämän yhtälön ratkaisulla on itseis­arvoltaan yhtä suuri imaginaariosa.

Areafunktioiden päähaarat voidaan määritellä neliöjuuren ja logaritmifunktion päähaarojen avulla. Muutamissa tapauksissa funktioiden edellä esitetyt, logaritmeihin perustuvat määritelmät eivät riitä päähaaran määrittelemiseen, koska niiden määrittelyjoukot ovat liian suppeita ja yksi niistä jopa epäyhtenäinen.

Areahyperbelisinin päähaara

Areahyperbelisinin päähaara on

$\operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)\,.$

Neliöjuuren argumenttina on ei-positiivinen reaaliluku, jos ja vain jos z on imaginaariakselilla jommalla­kummalla väleistä [i, +i∞) tai (−i∞, −i].< Jos logaritmin argumentti on reaalinen, se on positiivinen. Niinpä tämä lauseke määrittelee areahyperbelisinille päähaaran, on määritelty ja jatkuva muualla paitsi edellä mainituilla imaginaariakselin osilla.

Areahyperbelikosinin päähaara

Edellä on areahyperbelikosinille esitetty lauseke

$\operatorname {arcosh} x=\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)$

Tämä ei kuitenkaan sellaisenaan kelpaa laajennettaessa funktiota kompleksitasoon, sillä lausekkeessa esiintyvän neliöjuuren päähaara ei ole määritelty, kun z on puhtaasi imaginaarinen. Sen vuoksi tämä neliöjuuri on jaettava tekijöihin, jolloin saadaan:

$\operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,)\,.$

Tässä molempien neliöjuurten päähaarat ovat määritellyt, paitsi jos z on reaaliluku välillä (−∞, 1]. Jos logaritmin argumentti on reaalinen, z on myös reaalinen ja sillä on sama etumerkki. Niinpä tämä lauseke määrittelee areahyperbelikosinin päähaaran kaikkialla muualla paitsi reaaliakselin osuudella x<1.

Areahyperbelitangentin ja -kotangentin päähaara

Logaritmien avulla esitettyjen määritelmien perusteella luonnolliset valinnat areahyperbelitangentin ja -kotangentin päähaaroiksi ovat:

${\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)\end{aligned}}$

Näissä kaavoissa esiintyvän logaritmin argumentti on reaalinen, jos ja vain jos z on reaalinen.

Funktion artanh lausekkeessa logaritmin argumentti on reaalinen ja välillä (−∞, 0], jos z on joko välillä (−∞, −1] tai [1, −∞). Funktiolla arcoth taas logaritmin argumentti on välillä (−∞, −1], jos ja vain jos z on välillä [-1, 1]. Niinpä nämä lausekkeet soveltuvat näiden funktioiden pää­haarojen määritelmiksi. Epä­jatkuvuus­kohdat, joissa päähaara ei ole määritelty, ovat area­hyperbeli­tangentilla puolisuorat (−∞, −1] ja [1, −∞), area­hyperbeli­kotangentilla suljettu väli [-1, 1].

Jotta funktioiden lukuarvot lähellä määrittelyalueesta pois suljettuja viivoja olisivat helpommin arvoitavissa, jotkut käyttävät näiden funktioiden päähaaroille seuraavia määritelmiä, vaikka jälkimmäinen niistä merkitseekin, että funktio saa poistuvan erikoispisteen arvolla z=0. Nämä kaksi eri tavoin määriteltyä areahyperbelitangentin päähaaraa poikkeavat toisistaan z:n reaaliarvoilla z > 1, areahyperbelikotangentin eri tavoin määritellyt päähaarat taas reaaliarvoilla $z\in [0,1)$.

${\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+z}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-z}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+{\frac {1}{z}}}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-{\frac {1}{z}}}\right)\end{aligned}}$

Areahyperbelikosekantin päähaara

Areahyperbelikosekantin päähaara on

$\operatorname {arcsch} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right)$.

Tämä on määritelty, kun logaritmin ja neliöjuuren argumentit eivät ole negatiivisia reaalilukuja eivätkä nollia. Näin ollen neliöjuuren päähaara on määritelty, kun z ei ole imaginaariakselilla välillä [-i, i]. Logaritmin argumentti on reaalinen, kun z on nollasta poikkeava reaaliluku, jolloin logaritmin argumentti on positiivinen.

Näin ollen tämän funktion päähaara on määritelty muualla paitsi imaginaariakselilla välillä [-i, i]. Tähän väliin sisältyy erikoispiste z=0, jossa areahyperbelikosekantti ei lainkaan ole määritelty.

Areahyperbelisekantin päähaara

Areahyperbelisekantin päähaaran määrittämiseksi funktion määritelmässä esiintyvä neliöjuuri on jaettava tekijöihin samoin kuin areahyperbelikosininkin tapauksessa. Päähaaraksi saadaan:

$\operatorname {arsech} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\right).$

Jos neliöjuuren argumenttin on reaalinen, on z reaalinen, ja tästä seuraa, että molempien neliöjuurten päähaarat ovat määritellyt, paitsi jos z on reaalinen ja on jommallakummalla puolisuorista (−∞, 0] tai [1, +∞). Jos logaritmin argumenttin on negatiivinen, on z myös reaalinen ja negatiivinen. Tästä seuraa, että areahyperbelisekantin päähaara on hyvin määritelty muualla paitsi reaaliakselin väleillä (−∞, 0] ja [1, +∞). Näistä väleistä edelliseen sisältyy myös funktion erikoispiste z= 0.

Graafinen esitys

Seuraavassa areafunktioiden päähaarojen graafisessa esityksessä rajaviivat, joilla päähaara ei ole määritelty, näkyvät kohtina, joissa kuvion väri vaihtuu epäjatkuvasti. Se seikka, että nämä rajaviivat kokonaisuudessaan näkyvät epäjatkuvuuskohtina, osoittaa, että funktioiden päähaaroja ei voida laajentaa enää laajemmalla alueella analyyttisiksi funktioiksi. Jotta ne olisivat jatkuvia ja analyyttisiä, niiden määrittelyjoukkojen ulkopuolelle on jätettävä vähintään nämä rajaviivat.