Borsukin–Ulamin lause

Antipodipisteitä ovat kaikki pallopinnan Sⁿ⁺¹ vastakkaiset pisteparit (x, −x). Borsukin–Ulamin lauseen mukaan jokainen jatkuva funktio f : Sⁿ⁺¹ → Rⁿ sisältää antipodipisteen x siten, että f(x)=f(-x).

Borsukin–Ulamin lause on eräs algebrallisen topologian merkittävimmistä tuloksista. Geometrisesti lause sanoo, että jos litistää pallon lattiatasoon, niin aina löytyy antipodipistepari (x, −x), joka kuvautuu samaan kohtaa päällekkäin. Tapaus n=1 (ympyrä) havainnollistaa vaikkapa sitä, että maapallon (mielivaltaisella) päiväntasaajalla on kaksi pistettä, joissa lämpötilat ovat samat. Edeltävä voidaan todistaa helposti, kun sovelletaan Bolzanon lausetta ympyrällä määriteltyyn kuvaukseen f(x) = g(x)-g(-x). Tapausta n=2 (pallo) havainnollistetaan usein sillä, että maapallon pinnalla on aina olemassa kaksi vastakkaista pistettä, joissa lämpötila ja ilmanpaine ovat samat. Kuvauksissa kaikkien fysikaalisten suureiden oletetaan muuttuvan jatkuvalla tavalla.

Borsukin–Ulamin lauseen otaksui Stanisław Ulam. Sen todisti Karol Borsuk vuonna 1933. On olemassa alkeellinen todistus sille, että Borsukin–Ulamin lauseesta seuraa Brouwerin kiintopistelause.

Seurauksia

• Mikään avaruuden Rⁿ osajoukko ei ole homeomorfinen pallon Sⁿ⁺¹ kanssa. (Jos esim. pallo kuvataan jatkuvasti tasoon, niin antipodipisteiden kuvautuminen samaan pisteeseen ilmaiseen sen, ettei kuvaus voi olla injektio, eikä näin ollen homeomorfismikaan.)
• Lusternikin-Schnirelmanin lause: Jos pallo Sⁿ peitetään n + 1:llä avoimella joukolla, niin yksi joukoista sisältää antipodipisteet (x, −x). (Tämä tulos on ekvivalentti Borsukin–Ulamin lauseen kanssa.)
• Stonen-Tukeyn lause eli Kinkkuvoileipälause: Kaikille kompakteille $A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{n}$ voidaan löytää (n-1)-ulotteinen hypertaso, joka jakaa kunkin A_i kahteen osajoukkoon, joiden n-ulotteiset Lebesguen mitat ovat yhtä suuret. (Kinkkuvoileipälause siis kertoo, että on olemassa veitsen leikkaus, jolla kolmesta aineksesta tehty voileipä voidaan jakaa yhdellä leikkauksella kaikkien ainesten osalta kahteen yhtäsuureen osaan.