Absoluuttinen jatkuvuus

Matematiikassa reaaliarvoinen funktio f on absoluuttisesti jatkuva annetulla välillä jos kaikille positiivisille luvuille ε on olemassa positiivinen luku δ siten, että aina kun jono pareittain erillisiä välejä [x_k, y_k], k = 1, ..., n toteuttaa

$\sum _{k=1}^{n}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta ,$

on voimassa

$\sum _{k=1}^{n}\left|f(y_{k})-f(x_{k})\right|<\varepsilon .$

Jokainen absoluuttisesti jatkuva funktio on tasaisesti jatkuva ja siten jatkuva. Jokainen Lipschitz-funktio on absoluuttisesti jatkuva.

Cantorin funktio on kaikkialla jatkuva, mutta ei ole absoluuttisesti jatkuva, kuten ei ole myöskään funktio

$f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{jos }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{jos }}x\neq 0\end{cases}}$

äärellisellä välillä, joka sisältää origon. Myöskään $f(x)=x^{2}$ ei ole absoluuttisesti jatkuva äärettömällä välillä.

• Jos f on absoluuttisesti jatkuva äärellisellä välillä [a,b], se on tällä välillä myös rajoitetusti heilahteleva funktio.
• Jos f on absoluuttisesti jatkuva välillä [a,b], sillä on Lusinin N ominaisuus (eli kaikilla $L\subseteq [a,b]$ joilla $\lambda (L)=0$, on voimassa $\lambda (f(L))=0$, missä $\lambda$ on Lebesguen mitta).
• Jos f on absoluuttisesti jatkuva, on f:llä derivaatta melkein kaikkialla.
• Jos f on jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja sillä on Lusinin N-ominaisuus, on se absoluuttisesti jatkuva.

Mittojen absoluuttinen jatkuvuus

Jos μ ja ν ovat mittoja samassa sigma-algebrassa, on μ absoluuttisesti jatkuva ν:n suhteen jos μ(A) = 0 kaikilla joukoilla A joilla ν(A) = 0. Tälle käytetään merkintää "μ << ν". Siis:

$\mu \ll \nu \iff \left(\nu (A)=0\implies \mu (A)=0\right).$

Mittojen absoluuttinen jatkuvuus on refleksiivinen ja transitiivinen relaatio, mutta se ei ole antisymmetrinen. Siten se on esijärjestys, mutta ei osittainen järjestys. Jos μ << ν ja ν << μ, mittojen μ ja ν sanotaan olevan ekvivalentteja. Siten absoluuttinen jatkuvuus indusoi osittaisen järjestyksen kyseisten ekvivalenssiluokkien välille.

Jos μ on merkkinen tai kompleksimitta, sanotaan, että μ on absoluuttisesti jatkuva ν:n suhteen jos sen variaatio |μ| toteuttaa |μ| << ν. Yhtäpitävästi jos jokainen joukko A, jolla ν(A) = 0 on μ-nollajoukko.

Radonin–Nikodymin lause sanoo, että jos μ on absoluuttisesti jatkuva ν:n suhteen ja ν on σ-äärellinen, on μ:llä tiheys eli Radonin–Nikodymin derivaatta ν:n suhteen. Tästä seuraa, että on olemassa ν-mitallinen funktio f = dμ/dν, joka saa arvot [0,∞], jolle kaikilla ν-mitallisilla joukoilla A on voimassa

$\mu (A)=\int _{A}f\,d\nu .$