Tasainen jatkuvuus

Tasainen jatkuvuus on matemaattisen analyysin käsite. Karkeasti ilmaistuna tasainen jatkuvuus tarkoittaa sitä, että pientä muutosta x:ssä vastaa pieni muutos funktion arvossa f(x), ja tämän muutoksen suuruus riippuu vain x:n muutoksen suuruudesta, mutta ei itse pisteestä x.

Funktion jatkuvuus on paikallinen ominaisuus: funktio f on jatkuva (tai epäjatkuva) tietyssä pisteessä. Jos funktion sanotaan olevan jatkuva jollakin välillä, sen tarkoitetaan olevan jatkuva jokaisessa välin pisteessä. Sitä vastoin tasainen jatkuvuus on funktion globaali ominaisuus: se on määritelty joukossa, ei pisteessä. Funktio voi olla jatkuva jokaisessa välin pisteessä olematta kuitenkaan tasaisesti jatkuva tällä välillä.

Määritelmä

Olkoon D R:n osajoukko, $D\subseteq \mathbb {R}$.

Kuvaus $f:D\rightarrow \mathbb {R}$ on tasaisesti jatkuva jos ja vain jos

$\forall \varepsilon >0~\exists \delta >0~\forall x_{1},x_{2}\in D:\,|x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$.

Tärkeää on, että toisin kuin tavallisen jatkuvuuden määrittelyssä δ riippuu ainoastaan ε:sta.

Yleistys metrisiin avaruuksiin

Määritelmä yleistyy metrisiin avaruuksiin seuraavasti:

Olkoot (X, d_x) ja (Y, d_y) metrisiä avaruuksia. Kuvaus $f:X\rightarrow Y$ on tasaisesti jatkuva, jos kaikille reaaliluvuille ε > 0 on olemassa luku δ > 0 siten, että kaikkien joukon X pisteiden x₁ ja x₂, joiden välinen etäisyys on pienempi kuin δ, kuvapisteiden etäisyys toisistaan on pienempi kuin ε, toisin sanoen

$\forall \varepsilon >0~\exists \delta >0~\forall x_{1},x_{2}\in X:d_{x}(x_{1},x_{2})<\delta \Rightarrow d_{y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon$

Ominaisuuksia

Jokainen tasaisesti jatkuva funktio on jatkuva, mutta käänteisesti väite ei päde. Esimerkiksi funktio f(x) = 1/x, jonka lähtöjoukko on positiivisten reaalilukujen joukko, on jatkuva mutta ei tasaisesti jatkuva, sillä kun x lähestyy nollaa, muutokset arvossa f(x) kasvavat rajatta.

Todistus

Olkoon $y>0$. Tällöin $\left|y-{\frac {y}{2}}\right|={\frac {y}{2}}\to 0$, kun $y\to 0$ ja $\left|{\frac {1}{y}}-{\frac {1}{\left({\frac {y}{2}}\right)}}\right|=\left|{\frac {1}{y}}-{\frac {2}{y}}\right|=$ ${\frac {1}{y}}\to \infty$, kun $y\to 0$. Täten valittiinpa $\delta >0$ miten pieneksi tahansa, niin silti löydetään luvut $y>0$ ja ${\frac {y}{2}}>0$, joilla $\left|y-{\frac {y}{2}}\right|<\delta$ ja joilla $\left|{\frac {1}{y}}-{\frac {1}{\left({\frac {y}{2}}\right)}}\right|$ saadaan mielivaltaisen suureksi. Siispä $f(x)={\frac {1}{x}}$ ei ole tasaisesti jatkuva. $\square$

Kuitenkin jos funktio on jatkuva jokaisessa kompaktin välin pisteessä, se on tasaisesti jatkuva tällä välillä.