Yhdeksänmenetelmä

Yhdeksänmenetelmä eli yhdeksänkoe on sääntö, jolla voidaan selvittää, onko annettu luku jaollinen yhdeksällä, sekä siihen perustuva keino lasku­toimituksen tuloksen tarkistamiseksi.

Jaollisuus yhdeksällä ja jakojäännös

Luku on jaollinen yhdeksällä, jos ja vain jos sen numeroiden summa on jaollinen yhdeksällä.

Esimerkiksi luku 738 on jaollinen 9:llä, koska 7+3+8 = 18, joka on jaollinen 9:llä, koska 1+8 = 9. Luku 861 sen sijaan ei ole, koska 8+6+1=15, joka ei ole jaollinen 9:llä.

Vastaavalla tavalla voidaan myös selvittää, onko luku jaollinen kolmella. Esimerkiksi 861 on jaollinen kolmella, koska 8+6+1 = 15, jonka on jaollinen kolmella. Luku 952 sen sijaan ei ole, koska 9+5+2 = 16, joka ei ole jaollinen kolmella.

Yhdeksänkokeella voidaan myös varsinaista jakolaskua suorittamatta päätellä, mikä on annetun luvun jakojäännös yhdeksällä (tai kolmella) jaettaessa. Tämä jakojäännös on nimittäin sama kuin sen numeroiden summasta yhdeksällä (tai kolmella) jaettaessa saatava jakojäännös. Jakojäännös saadaan, kun ensin lasketaan luvun numerot yhteen, ja jos saatu luku on suurempi kuin 9, lasketaan edelleen sen numerot yhteen ja näin jatketaan, kunnes saatu luku on pienempi kuin 10. Tällöin saatu luku on sama kuin etsitty jakojäännös, paitsi jos tulokseksi saadaan 9, jolloin jakojäännös on 0 eli jako menee tasan. Esimerkiksi luvusta 1 673 saadaan täten 1+6+7+3 = 17, siitä edelleen 1+7 = 8, joten tämän luvun jakojäännös 9:llä jaettaessa on 8. Kun yhdeksällä jaettaessa saatu osamäärä esitetään desimaalilukuna, siinä toistuu desimaalipilkun jäljessä tämä jakojäännös loputtomiin; esimerkiksi 1673/9 = 185,88888...

Menetelmä perustuu modulaariseen aritmetiikkaan. Kymmenjärjestelmän mukaisesti kirjoitettu luku, jossa on peräkkäin annetut numeromerkit a₁, a₂... a_n, tarkoittaa itse asiassa summaa

$\sum _{k=1}^{n}10^{n-k}a_{k}$

Esimerkiksi 2 357 = 2 · 10³ + 3 · 10² + 5 · 10 + 7.

Kun näin esitetystä luvusta vähennetään sen numeroiden summa, joka on

$\sum _{k=1}^{n}a_{k}$,

saadaan erotukseksi

$\sum _{k=1}^{n}(10^{n-k}-1)a_{k}$,

ja koska luvut $(10^{n-k}-1)$, jotka saadaan vähentämällä 1 jostakin kymmenen potenssista (esimerkiksi 99, 999, 9999 jne) ovat aina jaollisia yhdeksällä, on myös näin saatu erotus aina yhdeksällä jaollinen. Sen vuoksi luvun numeroiden summasta jää yhdeksällä jaettaessa aina sama jakojäännös kuin alkuperäisestä luvustakin; erikois­tapauksessa nolla, jos luku on yhdeksällä jaollinen.

Laskutoimitusten tuloksen tarkistaminen

Olkoon a = 9d+e ja b = 9f+g, missä d, e, f ja g ovat positiivisia kokonaislukuja, joista e ja g ovat pienempiä kuin 9. Tällöin luvut e ja g ovat samalla lukujen a ja b jakojäännökset 9:llä jaettaessa. Lukujen a ja b summa on

$a+b=9d+e+9f+g=9(d+f)+e+g$

ja tulo

$ab=(9d+e)(9f+g)+81df+9dg+9ef+eg.$

Näistä lausekkeista nähdään, että summan a+b jakojäännös 9:llä jaettaessa on joko e+g tai muu luku, josta 9:llä jaettaessa jää jako­jäännökseksi e+g (toisin sanoen jokin luku, joka on kongruentti e+g:n kanssa modulo 9.) Vastaavasti tulon ab jako­jäännös joko eg tai muu luku, josta 9:llä jaettaessa jää jako­jäännökseksi eg, toisin sanoen luku, joka on kongruentti eg:n kanssa modulo 9. Koska luvun jakojäännös 9:llä jaettaessa voidaan lyhyesti, usein päässälaskunakin, määrittää edellä selostetulla menetelmällä, voidaan tätä seikkaa useissa tapauksissa käyttää hyväksi yhteen- tai kertolaskua suoritettaessa mahdollisesti tehdyn virheen paljastamiseen.

Menetelmä on ilmeisesti keksitty Intiassa, jossa sen tunsi jo 900-luvulla Aryabhata II, Mahasiddhanta-teoksen kirjoittaja. Euroopassa se tuli tunnetuksi arabien välityksellä, ja sen esitteli jo Fibonacci teoksessaan Liber Abaci. Se tulikin jo keskiajalla hyvin suosituksi, ja sitä on paljon käytetty varsinkin kynällä ja paperilla suoritettujen lasku­toimitusten tarkistamiseen, koska tällaisissa laskuissa huolimattomuus­virheet ovat hyvin yleisiä. Viime vuosikymmeninä se on kuitenkin menettänyt merkitystään, kun lasku­toimitukset yhä yleisimmin suoritetaan koneellisesti.

Menetelmällä voidaan kuitenkin vain todeta, että jos näin saadut luvut eivät täsmää, lasku­toimituksen tulos on virheellinen. Jos sen sijaan luvut täsmäävät, tulos voi olla oikein, mutta ei välttämättä ole, sillä jos oikean tuloksen ja saadun virheellisen tuloksen erotus on jaollinen yhdeksällä, menetelmä ei virhettä paljasta. Että yhdeksän­menetelmällä saadut luvut täsmäävät, on siis välttämätön, mutta ei riittävä ehto sille, että varsinaisen lasku­toimituksen tulos on oikea. Tämän vuoksi menetelmää tuloksen tarkastus­keinona on pidetty vähän­arvoisenakin.

Kertolasku

Kertolaskun tarkistaminen yhdeksän­menetelmällä suoritetaan laskemalla ensin jokaisen tulon tekijän numeroiden summa. Sen jälkeen nämä summat kerrotaan keskenään. Jos saatu tulo on kymmenen tai suurempi, sen numerot lasketaan yhteen, ja jos saatu summa on edelleen kymmenen tai suurempi, sen numerot lasketaan yhteen, ja näin jatketaan, kunnes saadaan kymmentä pienempi luku.

Vastaavalla tavalla lasketaan myös tulon numerot yhteen. Jos niiden summa on suurempi tai yhtä kuin kymmenen, sen numerot lasketaan yhteen ja näin jatketaan, kunnes saadaan kymmentä pienempi luku. Tämän luvun on oltava sama, joka edellä saatiin tulon tekijöiden avulla. Ellei näin ole, laskutoimituksen tulos on virheellinen. Jos taas luvut täsmäävät, laskutoimituksen tulos voi olla oikea.

Oletetaan, että esimerkiksi on laskettu $17\cdot 35$. Tällöin luvun 17 numeroiden summa on 8 ja luvun 35 vastaava summa niin ikään 8. Kun nämä kerrotaan keskenään, saadaan luku 64, jonka numeroiden summa on $6+4=10$, josta edelleen saadaan luku 1. Tähän lukuun on siis päädyttävä, kun tulon numerot lasketaan yhteen ja näin jatketaan, kunnes päästään kymmentä pienempään lukuun.

Mainittujen lukujen tulo on $17\cdot 35=595$, jonka numeroiden summa on $5+9+5=19$, ja siitä saadaan näin jatkamalla edelleen $1+9=10$ ja lopulta $1+0=1$. Tulos siis täsmää. Mutta jos tuloksi olisi laskuvirheen vuoksi saatu esimerkiksi luku 585, voitaisiin todeta, että $5+8+5=18$ ja $1+8=9$, mikä osoittaa, että tämä tulos on virheellinen. Jos sen sijaan tulokseksi olisi virheellisesti saatu 586, numeroiden summaksi saataisiin 5+8+6=19 sekä edelleen 1+9=10 ja 1+0=1, joten yhdeksän­menetelmä ei tässä tapauksessa paljastaisi virhettä. Tosin tässä tapauksessa tuloksen virheellisyys olisi muutoinkin helposti todettavissa siitä, että toinen tekijöistä on viidellä jaollinen, mutta saatu (virheellinen) tulo ei.

Yhteenlasku

Vastaavalla tavalla yhdeksän­menetelmää voidaan käyttää myös yhteen- ja vähennyslaskun tuloksen tarkistamiseen.

Oletetaan esimerkiksi, että on suoritettu yhteenlasku 36 994 + 99 363. Tässä luvun 36 994 numeroiden summa on $3+6+9+9+4=31\,$, josta aadaan edelleen $3+1=4$. Luvun 99 363 numeroiden summa taas on $9+9+3+6+3=30$, josta saadaan edelleen $3+0=3$. Kun nämä kerrotaan keskenään, saadaan luku 7. Tähän lukuun on siis päädyttävä, kun aluperäisen summan numerot lasketaan yhteen ja näin jatketaan, kunnes päästään kymmentä pienempään lukuun.

Mainittujen lukujen summa on 36 994 + 99 363 = 136 357. Sen numeroiden summa on $1+3+6+3+5+7=25\,$, josta samoin jatkettaessa saadaan $2+5=7\,$. Tulos siis täsmää. Mutta jos tuloksi olisi laskuvirheen vuoksi saatu esimerkiksi luku 136 347, voitaisiin todeta, että $1+3+6+3+4+7=24$, josta edelleen olisi saatu luku $2+4=6$, mikä osoittaa, että tämä tulos on virheellinen. Jos kuitenkin virheelliseksi tulokseksi olisi saatu esimerkiksi 135 367, siitäkin saataisiin numeroiden summaksi 25 ja edelleen 7, joten tässä tapauksessa menetelmä ei paljastaisi virhettä.

Apukeinoja

Jos lukuun lisätään tai siitä vähennetään mikä tahansa 9:llä jaollinen luku, saadaan luku, josta edellä selitetyllä tavalla numeroiden summia laskettaessa päädytään lopulta samaan lukuun kuin alkuperäisestäkin. Tämän vuoksi laskutoimituksia yhdeksän­menetelmällä tarkistettaessa voidaan luvussa mahdollisesti olevat yhdeksiköt korvata nollilla tai jättää kokonaan poiskin, minkä jälkeen summa on päässä­laskuna helpommin laskettavissa. Esimerkiksi luku 199 999 992 voidaan täten korvata luvulla 12, josta numeroiden summa (3) on helposti laskettavissa.

Joskus on myös mahdollista ryhmitellä luvun numeroita siten, että niistä joidenkin summa on 9, jolloin tällaiseen ryhmään kuuluvat numerot voidaan jättää huomioon ottamatta. Esimerkiksi luvusta 17 382 saadaan täten (1+8)+(7+2)=3, josta päädytään lukuun 3.

Moduli 9 -tarkistusmerkki

Yhdeksänmenetelmän pohjalta on kehitetty myös nimellä Moduli 9 tunnettu tarkistus­merkin laskenta­menetelmä, joka hieman erilaisina muunnelmina on käytössä muun muassa matkashekkien ja eurosetelien sarja­numeroissa sekä muuntogeenisten organismien tunnisteissa. Esimerkiksi matka­shekkien sarja­numeron viimeinen merkki eli tarkistusmerkki valitaan siten, että sarja­numero kokonaisuudessaan on jaollinen yhdeksällä, toisin sanoen sarja­numeroina käytetään vain yhdeksällä jaollisia lukuja. Tämän menetelmän heikkoutena on kuitenkin, ettei se havaitse virheitä, jotka aiheutuvat kahden numeron vaihtumista keskenään, ei myöskään numeron 0 tai 9 lisäämistä tai poistamista numeroiden välistä taikka 0:n vaihtumista 9:ksi tai päinvastoin.

Muissa lukujärjestelmissä

Kaikilla kokonais­luvuilla luvuilla a ja n pätee:

$a^{n}\equiv 1\ {\mbox{(mod n-1)}}\ .$

Toisin sanoen aⁿ – 1 on jaollinen luvulla n–1. Tästä seuraa, että yhdeksän­menetelmää vastaava sääntö pätee sovelletuksi muissakin luku­järjestelmissä, ei ainoastaan kymmenjärjestelmässä: jos järjestelmän kantaluku on n, mieli­valtainen luku on jaollinen luvulla n–1, jos ja vain jos sen numeroiden summa tässä järjestelmässä ilmaistuna on jaollinen luvulla n–1. Esimerkiksi kahdeksan- eli oktaalijärjestelmässä kantalukuna on 8, ja luvun 7 kerrannaisia tässä järjestelmässä ovat esimerkiksi 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70 ja 77 jotka vastaavat kymmen­järjestelmän lukuja 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56 ja 63. Kaikissa edellä mainituissa oktaali­luvuissa numeroiden summa on seitsemällä jaollinen. Myös menetelmä yhteen- ja kertolaskun summan tarkistamiseksi pätee sellaisenaan muissakin luku­järjestelmissä.